EXERCÍCIO 4: (
) Sistemas físicos onde a partícula está sujeita à uma energia potencial implicam que a energia total
deve exceder o valor mínimo de
(suposto
), caso contrário a função de onda não será normalizável. A partir da equação de Schrödinger independente do tempo,
(a)
pt
mostre que a solução para a função de onda quando
é dada por:
onde
e
. (b)(0,25pt) Mostre que essa solução não é normalizável, isto é, mostre que
Passo 1
O enunciado fornece a equação de Schrödinger independente do tempo na forma
e define
As perguntas são:
(a) Mostrar que, quando , a solução geral da equação é
(a) Mostrar que, quando
com
.
(b) Mostrar que essa solução não é normalizável, ou seja,
(b) Mostrar que essa solução não é normalizável, ou seja,
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial usando o método padrão para equações lineares com coeficientes constantes. Primeiro substituímos
na equação para escrever
A ideia é testar uma solução do tipo exponencial porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial. Então assumimos uma solução prova da forma
onde
é um número que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação
obtemos
Como
nunca é zero, podemos cancelar e chegar à equação característica
As raízes dessa equação são
Passo 4
Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com duas raízes distintas
e
, a solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim, com
e
obtemos
onde
e
são constantes arbitrárias (reais se imposta pelo enunciado). Renomeando
e
temos exatamente a forma pedida:
Passo 5
Agora vamos à normalização. Lembre que uma função de onda é normalizável se e somente se é quadrado-integrável, isto é,
Aqui o enunciado diz
, portanto
e
Passo 6
Expandindo o quadrado obtemos
Logo a integral de normalização é
Analisemos cada termo separadamente:
-
Para o termo
: a primitiva é . Ao avaliar entre e vemos que quando temos . Portanto a integral desse termo diverge (tende a ) a menos que . -
Para o termo
: a primitiva é . Quando temos . Portanto a integral desse termo diverge a menos que . -
Para o termo constante
: a integral de uma constante não nula em todo o eixo real é
ou seja diverge a menos que
.
Passo 7
Concluímos que, para que a integral total seja finita seria necessário simultaneamente
e
, o que dá a função identicamente nula
(que não é uma função de onda física normalizável com probabilidade positiva). Portanto, nenhuma função não-trivial da forma dada é quadrado-integrável no eixo real. Em outras palavras, a solução geral não é normalizável.
Resposta
A solução não é normalizável, ou seja,