EXERCÍCIO 4: ( 0,5 \mathrm{pt} ) Sistemas físicos onde a partícula está sujeita à uma energia potencial implicam que a energia total E deve exceder o valor mínimo de V(x) (suposto V_{\text {min }}=V_{0} ), caso contrário a função de onda não será normalizável. A partir da equação de Schrödinger independente do tempo,
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x)=\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left[V_{0}-E\right] \psi(x)
(a) (0,25 pt ) mostre que a solução para a função de onda quando \alpha^{2}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left[V_{0}-E\right]>0 é dada por:
\psi(x)=A e^{-\alpha x}+B e^{\alpha x}
onde A, B e \alpha \in \mathbb{R}. (b)(0,25pt) Mostre que essa solução não é normalizável, isto é, mostre que
\int_{-\infty}^{+\infty} \psi^{*}(x) \psi(x) d x \rightarrow \infty

Passo 1

O enunciado fornece a equação de Schrödinger independente do tempo na forma
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x)=\frac{2m}{\hbar^{2}}\big[V_{0}-E\big]\psi(x)
e define
\alpha^{2}=\frac{2m}{\hbar^{2}}\big[V_{0}-E\big]>0.
As perguntas são:
(a) Mostrar que, quando \alpha^{2}>0, a solução geral da equação é
\psi(x)=A e^{-\alpha x}+B e^{\alpha x},
com A,B,\alpha\in\mathbb{R}.
(b) Mostrar que essa solução não é normalizável, ou seja,
\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\psi(x)\,dx\rightarrow\infty.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial usando o método padrão para equações lineares com coeficientes constantes. Primeiro substituímos \alpha^{2} na equação para escrever
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)=\alpha^{2}\psi(x).
A ideia é testar uma solução do tipo exponencial porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial. Então assumimos uma solução prova da forma
\psi(x)=e^{r x},
onde r é um número que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo \psi(x)=e^{r x} na equação \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\psi=\alpha^{2}\psi obtemos
\frac{d^{2}}{dx^{2}}e^{r x}=r^{2}e^{r x}=\alpha^{2}e^{r x}.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos cancelar e chegar à equação característica
r^{2}=\alpha^{2}.
As raízes dessa equação são
r=\pm \alpha.

Passo 4

Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com duas raízes distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim, com r_{1}=\alpha e r_{2}=-\alpha obtemos
\psi(x)=C_{1}e^{\alpha x}+C_{2}e^{-\alpha x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais se imposta pelo enunciado). Renomeando C_{1}=B e C_{2}=A temos exatamente a forma pedida:
\psi(x)=A e^{-\alpha x}+B e^{\alpha x}.

Passo 5

Agora vamos à normalização. Lembre que uma função de onda é normalizável se e somente se é quadrado-integrável, isto é,
\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx<\infty.
Aqui o enunciado diz A,B,\alpha\in\mathbb{R}, portanto \psi^{*}(x)=\psi(x) e
|\psi(x)|^{2}=\big(A e^{-\alpha x}+B e^{\alpha x}\big)^{2}.

Passo 6

Expandindo o quadrado obtemos
|\psi(x)|^{2}=A^{2}e^{-2\alpha x}+2AB +B^{2}e^{2\alpha x}.
Logo a integral de normalização é
\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\big(A^{2}e^{-2\alpha x}+2AB +B^{2}e^{2\alpha x}\big)\,dx.
Analisemos cada termo separadamente:
  • Para o termo A^{2}e^{-2\alpha x}: a primitiva é -\dfrac{A^{2}}{2\alpha}e^{-2\alpha x}. Ao avaliar entre x\to-\infty e x\to+\infty vemos que quando x\to-\infty temos e^{-2\alpha x}\to+\infty. Portanto a integral desse termo diverge (tende a +\infty) a menos que A=0.
  • Para o termo B^{2}e^{2\alpha x}: a primitiva é \dfrac{B^{2}}{2\alpha}e^{2\alpha x}. Quando x\to+\infty temos e^{2\alpha x}\to+\infty. Portanto a integral desse termo diverge a menos que B=0.
  • Para o termo constante 2AB: a integral de uma constante não nula em todo o eixo real é
\int_{-\infty}^{+\infty}2AB\,dx = 2AB\cdot(+\infty),
ou seja diverge a menos que AB=0.

Passo 7

Concluímos que, para que a integral total seja finita seria necessário simultaneamente A=0 e B=0, o que dá a função identicamente nula \psi\equiv 0 (que não é uma função de onda física normalizável com probabilidade positiva). Portanto, nenhuma função não-trivial da forma dada é quadrado-integrável no eixo real. Em outras palavras, a solução geral não é normalizável.

Resposta

\psi(x)=A e^{-\alpha x}+B e^{\alpha x}.\n
A solução não é normalizável, ou seja, \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\psi(x)\,dx=+\infty.

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