EXERCÍCIO 1: ( 0,25 \mathrm{pt} ) A partir do método de separação de variáveis, \psi(x, t)=\psi(x) T(t), e tomando como constante de separação a energia total E, mostre que soluções estacionárias implicam em:
T(t)=e^{-\frac{i E}{\hbar} t}
bem como,
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x)+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \psi(x)=E \psi(x)

Passo 1

O enunciado fornece a equação de Schrödinger dependente do tempo (implícita) com potencial harmônico unidimensional e pede, ao adotar o método de separação de variáveis \psi(x,t)=\psi(x)T(t) e tomar como constante de separação a energia total E, que mostremos duas coisas:
T(t)=e^{-\frac{i E}{\hbar} t}
e
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x)+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \psi(x)=E \psi(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a forma ansatz \psi(x,t)=\psi(x)T(t) e que a constante de separação será identificada com a energia E. A resolução começa substituindo esse ansatz na equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula de massa m no potencial harmônico V(x)=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+ \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\right)\Psi(x,t).
Aqui \Psi(x,t) é a função de onda completa que depende de x e t. A ideia do método de separação é assumir que \Psi pode ser escrita como produto de uma função só de x e outra só de t.

Passo 3

Substituímos o ansatz \Psi(x,t)=\psi(x)T(t) na equação acima. Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\psi(x)\,T'(t),
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi(x,t)=\psi''(x)\,T(t).
Substituindo na equação de Schrödinger obtemos
i\hbar\,\psi(x)\,T'(t)=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\psi(x)\right)T(t).

Passo 4

Dividimos ambos os lados por \psi(x)T(t) (assumindo \psi e T não-nulas); isso separa as variáveis t e x:
i\hbar\frac{T'(t)}{T(t)}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}.
À esquerda aparece apenas função de t; à direita aparece apenas função de x. A única maneira dessa igualdade ser verdadeira para todo x e todo t é que ambos os lados sejam iguais a uma mesma constante. Essa constante é convencionalmente chamada de energia total E.

Passo 5

Igualamos o lado temporal à constante E:
i\hbar\frac{T'(t)}{T(t)}=E.
Essa é uma equação diferencial ordinária simples para T(t). Reescrevendo:
\frac{T'(t)}{T(t)}=-\frac{iE}{\hbar}.
Aqui estou usando que i é a unidade imaginária e \hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 6

Integramos a equação diferencial para T(t). Ao integrar \frac{T'}{T} obtemos o logaritmo:
\ln T(t)=-\frac{iE}{\hbar}t + C,
onde C é constante de integração (complexa em geral). Exponenciando,
T(t)=e^{C}\,e^{-\frac{iE}{\hbar}t}.
A constante e^{C} é apenas um fator multiplicativo (complexo) que pode ser absorvido na normalização da função de onda. Para apresentar a forma padrão da solução de fase temporal podemos escolher essa constante igual a 1 (ou mantê-la implícita). Portanto
T(t)=e^{-\frac{iE}{\hbar}t},
que é exatamente a dependência temporal pedida (até um fator de fase multiplicativo).

Passo 7

Agora igualamos o lado espacial à mesma constante E. A partir de
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}=E
multiplicamos por \psi(x) para obter a equação diferencial para \psi(x):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\psi(x)=E\,\psi(x).
Isso é a equação de Schrödinger independente do tempo (autovalores) para o oscilador harmônico. Nela \psi''(x) significa \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}.

Passo 8

Comentário físico didático rápido (para a prova): a escolha de chamar a constante de separação de E vem porque o operador que aparece à direita (o Hamiltoniano) é Hermitiano, e suas autovalores são reais; portanto E é real e corresponde à energia total da solução estacionária. A solução temporal e^{-iEt/\hbar} tem módulo constante, o que garante conservação da norma no tempo (boa propriedade física das soluções estacionárias).

Resposta

T(t)=e^{-\frac{i E}{\hbar} t}
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x)+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \psi(x)=E \psi(x)

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