EXERCÍCIO 1: (
) A partir do método de separação de variáveis,
, e tomando como constante de separação a energia total
, mostre que soluções estacionárias implicam em:
bem como,
Passo 1
O enunciado fornece a equação de Schrödinger dependente do tempo (implícita) com potencial harmônico unidimensional e pede, ao adotar o método de separação de variáveis
e tomar como constante de separação a energia total
, que mostremos duas coisas:
e
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a forma ansatz
e que a constante de separação será identificada com a energia
. A resolução começa substituindo esse ansatz na equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 2
Escrevemos explicitamente a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula de massa
no potencial harmônico
:
Aqui
é a função de onda completa que depende de
e
. A ideia do método de separação é assumir que
pode ser escrita como produto de uma função só de
e outra só de
.
Passo 3
Substituímos o ansatz
na equação acima. Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na equação de Schrödinger obtemos
Passo 4
Dividimos ambos os lados por
(assumindo
e
não-nulas); isso separa as variáveis
e
:
À esquerda aparece apenas função de
; à direita aparece apenas função de
. A única maneira dessa igualdade ser verdadeira para todo
e todo
é que ambos os lados sejam iguais a uma mesma constante. Essa constante é convencionalmente chamada de energia total
.
Passo 5
Igualamos o lado temporal à constante
:
Essa é uma equação diferencial ordinária simples para
. Reescrevendo:
Aqui estou usando que
é a unidade imaginária e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 6
Integramos a equação diferencial para
. Ao integrar
obtemos o logaritmo:
onde
é constante de integração (complexa em geral). Exponenciando,
A constante
é apenas um fator multiplicativo (complexo) que pode ser absorvido na normalização da função de onda. Para apresentar a forma padrão da solução de fase temporal podemos escolher essa constante igual a
(ou mantê-la implícita). Portanto
que é exatamente a dependência temporal pedida (até um fator de fase multiplicativo).
Passo 7
Agora igualamos o lado espacial à mesma constante
. A partir de
multiplicamos por
para obter a equação diferencial para
:
Isso é a equação de Schrödinger independente do tempo (autovalores) para o oscilador harmônico. Nela
significa
.
Passo 8
Comentário físico didático rápido (para a prova): a escolha de chamar a constante de separação de
vem porque o operador que aparece à direita (o Hamiltoniano) é Hermitiano, e suas autovalores são reais; portanto
é real e corresponde à energia total da solução estacionária. A solução temporal
tem módulo constante, o que garante conservação da norma no tempo (boa propriedade física das soluções estacionárias).