Exercício 60. Seja
diferenciável em
e tal que
, para todo
em
, em que
é uma função de
em
dada.
(a) Com argumentos geométricos, verifique que é razoável esperar que
seja constante sobre cada circunferência de centro na origem.
(b) Prove que
é constante sobre cada circunferência de centro na origem. (Sugestão:
fornece os valores de
sobre a circunferência
.)
(a) Com argumentos geométricos, verifique que é razoável esperar que
(b) Prove que
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável e satisfaz
para todo
, onde
é uma função dada. Precisamos mostrar que, para cada raio
, a função
assume o mesmo valor em todos os pontos da circunferência
O conteúdo que vamos usar é a interpretação geométrica do gradiente (ele é ortogonal às curvas de nível) e a prova analítica por parametrização.
Passo 2
Geometricamente,
aponta na direção de maior crescimento de
e é sempre ortogonal às curvas de nível de
. Como
é paralelo ao vetor radial
, ele é ortogonal a qualquer vetor tangente à circunferência de centro na origem, pois o vetor tangente típico é
e
Isso diz que a derivada direcional de
na direção tangente à circunferência é zero, ou seja,
não varia quando nos movemos ao longo da circunferência.
Passo 3
Para uma prova analítica, parametrize a circunferência
por
Defina
Pelo teorema da cadeia,
Mas
e
, e sabemos que
Logo,
Passo 4
Como
para todo
, a função
é constante. Isso significa que
não depende de
, ou seja, é o mesmo valor para qualquer ponto da circunferência
.
Resposta
Para cada
, a função
é constante sobre a circunferência de raio
e centro na origem.