Exercício 60. Seja z=f(x, y) diferenciável em R^2 e tal que nabla f(x, y)=g(x, y)(x, y), para todo (x, y) em R^2, em que g(x, y) é uma função de R^2 em R dada.
(a) Com argumentos geométricos, verifique que é razoável esperar que f seja constante sobre cada circunferência de centro na origem.
(b) Prove que f é constante sobre cada circunferência de centro na origem. (Sugestão: g(t)=f(R cos t, R sen t) fornece os valores de f sobre a circunferência x^2+y^2=R^2.)

Passo 1

O enunciado diz que fcolonR^2toR é diferenciável e satisfaz
nabla f(x,y)=g(x,y),(x,y)
para todo (x,y), onde g é uma função dada. Precisamos mostrar que, para cada raio R>0, a função f assume o mesmo valor em todos os pontos da circunferência
x^2+y^2=R^2
O conteúdo que vamos usar é a interpretação geométrica do gradiente (ele é ortogonal às curvas de nível) e a prova analítica por parametrização.

Passo 2

Geometricamente, nabla f(x,y) aponta na direção de maior crescimento de f e é sempre ortogonal às curvas de nível de f. Como nabla f(x,y) é paralelo ao vetor radial (x,y), ele é ortogonal a qualquer vetor tangente à circunferência de centro na origem, pois o vetor tangente típico é (-y,x) e
nabla f(x,y)cdot(-y,x) = g(x,y),(x,y)cdot(-y,x) = g(x,y),(xcdot(-y)+ycdot x) =0
Isso diz que a derivada direcional de f na direção tangente à circunferência é zero, ou seja, f não varia quando nos movemos ao longo da circunferência.

Passo 3

Para uma prova analítica, parametrize a circunferência x^2+y^2=R^2 por
x(t)=Rcos t, y(t)=Rsin t, tin[0,2pi]
Defina
h(t)=fl(x(t),y(t)r)=fl(Rcos t,,Rsin tr)
Pelo teorema da cadeia,
h'(t) = fx(x(t),y(t)),x'(t) + fy(x(t),y(t)),y'(t)
Mas x'(t)=-Rsin t e y'(t)=Rcos t, e sabemos que
fx(x,y)=g(x,y),x, fy(x,y)=g(x,y),y
Logo,
h'(t) = g(x,y),xcdot(-Rsin t) + g(x,y),ycdot(Rcos t) = gl(Rcos t,Rsin tr), l(-Rcos t,sin t + Rsin t,cos tr) =0

Passo 4

Como h'(t)=0 para todo t, a função h(t) é constante. Isso significa que f(Rcos t,Rsin t) não depende de t, ou seja, é o mesmo valor para qualquer ponto da circunferência x^2+y^2=R^2.

Resposta

Para cada R>0, a função f é constante sobre a circunferência de raio R e centro na origem.

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