Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
Encontrar a área da superfície x+2 y+ 2 z=5 delimitada pelo cilindro com paredes definidas por x=y^2 e x=2-y^2

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície definida pelo plano
x + 2y + 2z = 5
que fica sobre a região limitada pelo “cilindro” determinado pelas curvas em projeção no plano xy:
x = y^2 e x = 2 - y^2
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície usando tanto a forma explícita z = z(x,y) quanto a forma implícita F(x,y,z)=0.

Passo 2

Forma explícita: isolamos
z = 5 - x - 2y2
As derivadas parciais são
zx = -12, zy = -1

Passo 3

O elemento de área é
raiz1 + zx^2 + zy^2 = raiz1 + l(-tfrac12r)^2 + (-1)^2 = raiz94 = 32
Logo
Área(S) = integral duplaD 32 ,dA = 32;Área(D) ÁÁ

Passo 4

Determinar D: das inequações
y^2 <= x <= 2 - y^2
segue y^2 <= 2 - y^2, i.e.\ |y|<=1. Assim
D=(x,y)mid -1<= y<=1,;y^2<= x<=2-y^2
e
Área(D) =integral-1^1l((2 - y^2)-y^2r),dy =integral-1^1(2 - 2y^2),dy =83 Á

Passo 5

Pela forma explícita
Área(S) = 32 times 83 = 4 Á

Passo 6

Forma implícita: defina
F(x,y,z)=x+2y+2z-5=0
Para projeção em xy vale
Área(S) =integral duplaD|nabla F||Fz|,dA, Á
onde nabla F=(1,2,2) e Fz=2. Então
|nabla F||Fz| =raiz1^2+2^2+2^22 =32,
e integrando sobre o mesmo D chega-se de novo a 4.

Resposta

A área da superfície é 4.

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