Exercício 64. Calcule
, onde
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e todas as informações que ele dá.
- O que pediram: calcular
, ou seja, o volume do conjunto . - O conjunto
é dado por: -
, -
, -
, -
.
-
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Na projeção no plano
, a condição indica uma coroa circular (anel) com raio interior e raio exterior . - As desigualdades angulares
e restringem a faixa angular dessa coroa. - A coordenada
varia independentemente de entre e .
Passo 2
Escolha do método: vamos usar coordenadas cilíndricas (polars no plano
e
igual) porque a condição sobre
fica simples em termos do raio
e porque o elemento de volume tem uma forma padrão fácil de integrar quando a região é circular/anelar.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares/cilíndricas:
- As relações são
. - O jacobiano (fator que transforma
em ) é . Explicando por que: numa pequena variação a área elementar em coordenadas polares tem tamanho aproximado (comprimento do arco vezes a largura ), por isso . - Assim o elemento de volume é
.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas polares para
e
a partir das condições do enunciado.
-
Da condição radial
obtemos (aqui, então tomamos as raízes positivas). -
Da condição
temos . Isso dá no intervalo . -
Da condição
temos . Como nessa coroa, podemos dividir por e obter , isto é No intervalo onde, essa desigualdade equivale a . -
Da condição
temos . Dividindo por dá , ou seja -
Interseção de todas as restrições angulares dá
-
Para
o enunciado dá diretamente
Resumo dos limites:
.
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas usando o jacobiano
.
A integral pedida é
Em coordenadas cilíndricas isso vira
Passo 5
Calcular a integral em
primeiro (é a mais simples porque integrando
em relação a
apenas multiplica por comprimento em
).
Integrando em
:
Assim a integral reduz para
Passo 6
Agora integrar em
:
Portanto a integral fica
Passo 7
Integrar em
e simplificar numericamente.
Calcule a diferença de ângulos:
Multiplicando por
:
Portanto o valor final da integral (o volume de
) é
.