Exercício 64. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, x \geq 0, x \leq\right. y \leq \sqrt{3} x, 0 \leq z \leq 2\}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e todas as informações que ele dá.
  • O que pediram: calcular \iiint_{W} dx\,dy\,dz, ou seja, o volume do conjunto W.
  • O conjunto W é dado por:
    • 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4,
    • x \geq 0,
    • x \leq y \leq \sqrt{3}\,x,
    • 0 \leq z \leq 2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Na projeção no plano xy, a condição 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 indica uma coroa circular (anel) com raio interior 1 e raio exterior 2.
  • As desigualdades angulares x \leq y \leq \sqrt{3}\,x e x\ge 0 restringem a faixa angular dessa coroa.
  • A coordenada z varia independentemente de x,y entre 0 e 2.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar coordenadas cilíndricas (polars no plano xy e z igual) porque a condição sobre x^{2}+y^{2} fica simples em termos do raio r e porque o elemento de volume tem uma forma padrão fácil de integrar quando a região é circular/anelar.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares/cilíndricas:
  • As relações são \;x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z=z\;.
  • O jacobiano (fator que transforma dx\,dy em r\,dr\,d\theta) é r. Explicando por que: numa pequena variação (dr,d\theta) a área elementar em coordenadas polares tem tamanho aproximado r\,dr\,d\theta (comprimento do arco r\,d\theta vezes a largura dr), por isso dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
  • Assim o elemento de volume é dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas polares para r e \theta a partir das condições do enunciado.
  • Da condição radial \;1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\; obtemos
    1 \leq r^{2} \leq 4 \quad\Rightarrow\quad 1 \leq r \leq 2.
    (aqui r\ge 0, então tomamos as raízes positivas).
  • Da condição x \geq 0 temos \cos\theta \ge 0. Isso dá \theta no intervalo -\tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
  • Da condição x \le y temos r\cos\theta \le r\sin\theta. Como r>0 nessa coroa, podemos dividir por r e obter \cos\theta \le \sin\theta, isto é
    \tan\theta \ge 1.
    No intervalo onde \cos\theta\ge0, essa desigualdade equivale a \theta \ge \tfrac{\pi}{4}.
  • Da condição y \le \sqrt{3}\,x temos r\sin\theta \le \sqrt{3}\,r\cos\theta. Dividindo por r>0 \tan\theta \le \sqrt{3}, ou seja
    \theta \le \arctan(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3}.
  • Interseção de todas as restrições angulares dá
    \theta \in \left[\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{3}\right].
  • Para z o enunciado dá diretamente
    0 \le z \le 2.
Resumo dos limites: \;r\in[1,2],\;\theta\in\big[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}\big],\;z\in[0,2].

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas usando o jacobiano r.
A integral pedida é
\iiint_{W} dx\,dy\,dz.
Em coordenadas cilíndricas isso vira
\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/3}\int_{r=1}^{2}\int_{z=0}^{2} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em z primeiro (é a mais simples porque integrando r em relação a z apenas multiplica por comprimento em z).
Integrando em z:
\int_{z=0}^{2} r \,dz = r\cdot \Big[z\Big]_{0}^{2} = r\cdot 2 = 2r.
Assim a integral reduz para
\int_{\pi/4}^{\pi/3}\int_{1}^{2} 2r \,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora integrar em r:
\int_{1}^{2} 2r \,dr = 2\cdot \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \left[r^{2}\right]_{1}^{2} = 2^{2}-1^{2} = 4-1 = 3.
Portanto a integral fica
\int_{\pi/4}^{\pi/3} 3 \,d\theta = 3\cdot \left[\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/3}.

Passo 7

Integrar em \theta e simplificar numericamente.
Calcule a diferença de ângulos:
\left[\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi-3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}.
Multiplicando por 3:
3\cdot \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}.
Portanto o valor final da integral (o volume de W) é \dfrac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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