Exercício 65. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq 2 x, 1 \leq z \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{W} d x\, d y\, d z,
onde o conjunto W é dado por
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}\leq 2x,\; 1\leq z\leq 4\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A desigualdade x^{2}+y^{2}\leq 2x define a região projetada no plano xy que serve como base da região em 3D.
  • A coordenada z varia independentemente entre z=1 e z=4.
  • A integral \iiint_{W} d x\, d y\, d z mede o volume de W (pois a função integranda é 1).
    A pergunta concreta é: qual é o valor numérico desse volume?

Passo 2

Interpretar a desigualdade no plano xy (identificar a base no plano xy). Vou completar o quadrado na expressão x^{2}+y^{2}\leq 2x:
x^{2}+y^{2}\leq 2x \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x+y^{2}\leq 0.
Agora completar o quadrado em x:
x^{2}-2x+y^{2}=(x-1)^{2}-1+y^{2}.
Logo a desigualdade fica
(x-1)^{2}+y^{2}-1\leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}\leq 1.
Isso mostra que a projeção de W no plano xy é o disco de centro (1,0) e raio 1. Em palavras: a base é um disco de área conhecida.

Passo 3

Usar a interpretação geométrica do sólido: W é o cilindro reto (prisma circular) obtido ao elevar esse disco no intervalo vertical 1\leq z\leq 4. Portanto o volume é simplesmente a área da base multiplicada pela altura. Área do disco de raio 1 é \pi\cdot 1^{2}=\pi. A altura é
4-1=3.
Logo o volume (a integral pedida) é
\pi\cdot 3 = 3\pi.

Passo 4

(Método alternativo — integração em coordenadas polares, passo a passo, para treinar a técnica.) Usar coordenadas polares no plano xy: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r\ge 0 e \theta apropriado. Substituindo na desigualdade:
r^{2}\leq 2r\cos\theta \quad\Longleftrightarrow\quad r\leq 2\cos\theta
(lembrando que r\ge 0; portanto só vale onde \cos\theta\ge 0, ou seja -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}). Em coordenadas polares o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Assim a área da base é
\iint_{\text{base}} dA=\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2\cos\theta} r\,dr\,d\theta.
Calculo interno:
\int_{0}^{2\cos\theta} r\,dr=\left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{2\cos\theta}=\tfrac{1}{2}(2\cos\theta)^{2}=2\cos^{2}\theta.
Portanto
\iint_{\text{base}} dA=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} 2\cos^{2}\theta\,d\theta.
Usar a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
2\cos^{2}\theta = 1+\cos(2\theta).
Logo
\iint_{\text{base}} dA=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \big(1+\cos(2\theta)\big)\,d\theta = \Big[\theta+\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Big]_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}.
Avaliação:
\Big(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{1}{2}\sin\pi\Big)-\Big(-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{1}{2}\sin(-\pi)\Big)=\pi.
Então a área da base é \pi e, multiplicando pela altura 3, obtemos novamente o volume 3\pi.

Passo 5

Resumo final e dica prática para a prova: sempre que aparecer uma condição do tipo x^{2}+y^{2}\leq 2x pense em completar o quadrado — muitas regiões no plano são discos deslocados. Se a região em xy é um disco e z varia entre constantes, o volume é área do disco vezes a diferença de z. Se preferir ou quando a região estiver centrada na origem, coordenadas polares são uma alternativa direta (lembre-se do fator r no elemento de área).

Resposta

3\pi

Exercícios relacionados