Isso mostra que a projeção de W no plano xy é o disco de centro (1,0) e raio 1. Em palavras: a base é um disco de área conhecida.
Passo 3
Usar a interpretação geométrica do sólido: W é o cilindro reto (prisma circular) obtido ao elevar esse disco no intervalo vertical 1\leq z\leq 4. Portanto o volume é simplesmente a área da base multiplicada pela altura. Área do disco de raio 1 é \pi\cdot 1^{2}=\pi. A altura é
4-1=3.
Logo o volume (a integral pedida) é
\pi\cdot 3 = 3\pi.
Passo 4
(Método alternativo — integração em coordenadas polares, passo a passo, para treinar a técnica.) Usar coordenadas polares no plano xy: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r\ge 0 e \theta apropriado. Substituindo na desigualdade:
(lembrando que r\ge 0; portanto só vale onde \cos\theta\ge 0, ou seja -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}). Em coordenadas polares o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Assim a área da base é
Então a área da base é \pi e, multiplicando pela altura 3, obtemos novamente o volume 3\pi.
Passo 5
Resumo final e dica prática para a prova: sempre que aparecer uma condição do tipo x^{2}+y^{2}\leq 2x pense em completar o quadrado — muitas regiões no plano são discos deslocados. Se a região em xy é um disco e z varia entre constantes, o volume é área do disco vezes a diferença de z. Se preferir ou quando a região estiver centrada na origem, coordenadas polares são uma alternativa direta (lembre-se do fator r no elemento de área).