Exercício 61. Calcule \iiint_{W} z(x-1)(y-2) d x d y d z, onde W é a região limitada pelos planos coordenados e o plano x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral tripla
\iiint_{W} z(x-1)(y-2)\,dx\,dy\,dz,
onde W é a região limitada pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Região W: o tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1); isto é, os pontos com x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad z\ge0,\qquad x+y+z\le1.
  • Pedido: calcular o valor numérico da integral tripla \iiint_W z(x-1)(y-2)\,dx\,dy\,dz.

Passo 2

Vamos descrever W em coordenadas para montar integrais iteradas. Tomando a ordem dx\,dy\,dz, para cada z fixo:
  • z varia de 0 a 1: \;0\le z\le1.
  • para dado z, y varia de 0 até 1-z: \;0\le y\le1-z.
  • para dados y,z, x varia de 0 até 1-y-z: \;0\le x\le1-y-z.
Assim a integral pode ser escrita como
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1-z}\int_{x=0}^{1-y-z} z(x-1)(y-2)\,dx\,dy\,dz.

Passo 3

Para facilitar, vamos expandir o integrando e usar linearidade da integral. Expansão:
(x-1)(y-2)=xy-2x-y+2,
portanto
z(x-1)(y-2)=zxy-2zx-zy+2z.
Logo a integral é soma de quatro integrais de monômios:
I=\iiint_W zxy\,dV \;-\;2\iiint_W zx\,dV \;-\; \iiint_W zy\,dV \;+\;2\iiint_W z\,dV.

Passo 4

Agora precisamos calcular integrais do tipo \displaystyle \iiint_W x^a y^b z^c\,dV para pequenos inteiros a,b,c.
Uma fórmula útil (que podemos obter por integração iterada e uso da função Beta) é: para inteiros \\ a,b,c\ge0,
\iiint_{W} x^{a}y^{b}z^{c}\,dV \;=\; \frac{a!\,b!\,c!}{(a+b+c+3)!}.
Breve justificativa (esquemática, para entender): integrar x^a em x de 0 a 1-y-z \frac{(1-y-z)^{a+1}}{a+1}. Fazendo a mudança y=(1-z)u e usando a integral Beta para a parte em u, e depois integrando em z com outra Beta, chega-se à razão de fatoriais acima. Essa fórmula também dá o volume do tetraedro quando a=b=c=0: \frac{0!0!0!}{3!}=\frac{1}{6}, que é correto.

Passo 5

Aplicamos a fórmula aos monômios que aparecem:
  1. Para \displaystyle \iiint_W x^{1}y^{1}z^{1}\,dV (o termo zxy):
\iiint_W x y z\,dV = \frac{1!\,1!\,1!}{(1+1+1+3)!}=\frac{1}{6!}=\frac{1}{720}.
  1. Para \displaystyle \iiint_W x^{1}z^{1}y^{0}\,dV (o termo zx):
\iiint_W x z\,dV = \frac{1!\,0!\,1!}{(1+0+1+3)!}=\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}.
  1. Para \displaystyle \iiint_W y^{1}z^{1}x^{0}\,dV (o termo zy) é análogo ao anterior:
\iiint_W y z\,dV = \frac{1}{120}.
  1. Para \displaystyle \iiint_W z\,dV (o termo z com x^0y^0z^1):
\iiint_W z\,dV = \frac{0!\,0!\,1!}{(0+0+1+3)!}=\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}.

Passo 6

Agora recompondo I com os coeficientes:
I = \frac{1}{720} - 2\cdot\frac{1}{120} - \frac{1}{120} + 2\cdot\frac{1}{24}.
Calcule cada parte:
-2\cdot\frac{1}{120}-\frac{1}{120}=-\frac{3}{120}=-\frac{1}{40}, \qquad 2\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{12}.
Levantando tudo para o denominador 720:
\frac{1}{720}-\frac{1}{40}+\frac{1}{12} =\frac{1}{720}-\frac{18}{720}+\frac{60}{720} =\frac{1-18+60}{720}=\frac{43}{720}.

Resposta

\displaystyle \frac{43}{720}

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