Exercício 61. Calcule
, onde
é a região limitada pelos planos coordenados e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral tripla
onde
é a região limitada pelos planos coordenados e pelo plano
.
Informações dadas e o que é pedido:
- Região
: o tetraedro com vértices , , , ; isto é, os pontos com - Pedido: calcular o valor numérico da integral tripla
.
Passo 2
Vamos descrever
em coordenadas para montar integrais iteradas. Tomando a ordem
, para cada
fixo:
-
varia de a : . - para dado
, varia de até : . - para dados
, varia de até : .
Assim a integral pode ser escrita como
Passo 3
Para facilitar, vamos expandir o integrando e usar linearidade da integral. Expansão:
portanto
Logo a integral é soma de quatro integrais de monômios:
Passo 4
Agora precisamos calcular integrais do tipo
para pequenos inteiros
.
Uma fórmula útil (que podemos obter por integração iterada e uso da função Beta) é: para inteiros ,
Uma fórmula útil (que podemos obter por integração iterada e uso da função Beta) é: para inteiros
Breve justificativa (esquemática, para entender): integrar
em
de
a
dá
. Fazendo a mudança
e usando a integral Beta para a parte em
, e depois integrando em
com outra Beta, chega-se à razão de fatoriais acima. Essa fórmula também dá o volume do tetraedro quando
:
, que é correto.
Passo 5
Aplicamos a fórmula aos monômios que aparecem:
- Para
(o termo ):
- Para
(o termo ):
- Para
(o termo ) é análogo ao anterior:
- Para
(o termo com ):
Passo 6
Agora recompondo
com os coeficientes:
Calcule cada parte:
Levantando tudo para o denominador
: