Exercício 69. Calcule
\nabla f(x, y)
sendo
f(x, y)=arctg xy

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de
f(x,y)=arctgxy,,
isto é
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)
Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de arctan(u), que é
ddul(arctan(u)r)=11+u^2,

Passo 2

Calcular partial fpartial x. Defina
u(x,y)=xy
Então
f(x,y)=arctanl(u(x,y)r)
e, pela regra da cadeia,
partial fpartial x =11+u^2,partial upartial x
Como u=xy, temos partial upartial x=1y. Logo,
partial fpartial x =11+(x/y)^2,1y
Reescrevendo o denominador
1+l(xyr)^2 =y^2+x^2y^2,
obtemos
partial fpartial x =1y^2+x^2y^2cdot1y =y^2y^2+x^2cdot1y =yx^2+y^2

Passo 3

Calcular partial fpartial y. Novamente
partial fpartial y =11+u^2,partial upartial y,
e agora u=xy implica
partial upartial y =partialpartial yl(x,y^-1r) =xcdot(-1),y^-2 =-xy^2
Logo
partial fpartial y =11+(x/y)^2,l(-xy^2r) =y^2y^2+x^2cdotl(-xy^2r) =-xx^2+y^2

Passo 4

Juntando os dois componentes, o gradiente fica
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =l(yx^2+y^2,,-xx^2+y^2r)

Resposta

nabla f(x,y) =l(yx^2+y^2,,-xx^2+y^2r)

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