Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=tan (3 x)arctan (3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=tan(3x)arctan(3x)
O conteúdo envolve a regra do quociente e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos
u(x)=tan(3x), v(x)=arctan(3x)
Pela regra do quociente, a derivada de f(x)=u(x)v(x) é
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x) usando a regra da cadeia:
A derivada de tan(3x) é
u'(x)=3sec^2(3x)
A derivada de arctan(3x) é
v'(x)=31+(3x)^2=31+9x^2

Passo 4

Substituindo u(x), v(x), u'(x) e v'(x) na fórmula do quociente, obtém-se
f'(x) =l(3sec^2(3x)r),arctan(3x);-;tan(3x),dfrac31+9x^2[arctan(3x)]^2

Passo 5

Colocando o fator 3 em evidência no numerador, a expressão final fica
f'(x) =3l(sec^2(3x),arctan(3x);-;dfractan(3x)1+9x^2r)[arctan(3x)]^2

Resposta

f'(x) =3l(sec^2(3x),arctan(3x)-dfractan(3x)1+9x^2r)[arctan(3x)]^2

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