As funções cosh, sinh, tanh : R R definidas por
cosh x=e^x+e^-x2, sinh x=e^x-e^-x2 e tanh x=sinh xcosh x
são chamadas, respectivamente, de cosseno hiperbólico, seno hiperbólico e tangente hiperbólica. Verifique que
cosh ^2 x-sinh ^2 x=1, cosh ^prime(x)=sinh x, sinh ^prime(x)=cosh x e tanh ^prime(x)=1cosh ^2 x

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas
cosh x = e^x + e^-x2, sinh x = e^x - e^-x2, tanh x = sinh xcosh x
e pede para verificar a identidade
cosh^2x - sinh^2x = 1
e as derivadas
cosh'(x) = sinh x, sinh'(x) = cosh x, tanh'(x) = 1cosh^2x
Vamos usar álgebra elementar e as regras de derivação de e^x.

Passo 2

Prova de cosh^2x - sinh^2x = 1.
Substituindo as definições em cada quadrado:
cosh^2x = (e^x + e^-x2)^2 = e^2x + 2 + e^-2x4,
sinh^2x = (e^x - e^-x2)^2 = e^2x - 2 + e^-2x4
Agora faça a diferença:
cosh^2x - sinh^2x = e^2x + 2 + e^-2x - (e^2x - 2 + e^-2x)4 = 44 = 1

Passo 3

Cálculo de cosh'(x) e sinh'(x).
Usamos tfracddxe^x=e^x e tfracddxe^-x=-e^-x:
cosh'(x):
cosh'(x) = ddx!l(e^x + e^-x2r) = e^x - e^-x2 = sinh x
sinh'(x):
sinh'(x) = ddx!l(e^x - e^-x2r) = e^x + e^-x2 = cosh x

Passo 4

Cálculo de tanh'(x) usando a regra do quociente.
Como tanh x = dfracsinh xcosh x, temos
tanh'(x) = cosh xcdot sinh'(x) - sinh xcdot cosh'(x)cosh^2x = cosh xcdot cosh x - sinh xcdot sinh xcosh^2x
Pelo resultado do Passo 2, cosh^2x - sinh^2x = 1, logo
tanh'(x) = 1cosh^2x

Resposta

cosh^2x - sinh^2x = 1, cosh'(x) = sinh x, sinh'(x) = cosh x, tanh'(x) = 1cosh^2x

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