Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
x^3+x^2-2 x=1, (-1,1)

Passo 1

Vamos reescrever a equação dada como
f(x)=x^3+x^2-2x-1=0
O que queremos é mostrar que existe pelo menos uma solução de f(x)=0 em (-1,1). O conteúdo a usar é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que exige que f seja contínua em [-1,1].

Passo 2

Como f é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo R, e em particular em [-1,1].

Passo 3

Vamos avaliar f nas extremidades do intervalo:
f(-1)=(-1)^3+(-1)^2-2(-1)-1=-1+1+2-1=1>0,
f(1)=1^3+1^2-2cdot1-1=1+1-2-1=-1<0
Como f(-1) e f(1) têm sinais opostos, temos
f(-1)cdot f(1)=1cdot(-1)<0

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua em [a,b] assume valores de sinais contrários em a e b, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0. Aplicando com a=-1 e b=1, concluímos que existe pelo menos um cin(-1,1) tal que
f(c)=0,
ou seja,
c^3+c^2-2c=1

Resposta

Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, existe cin(-1,1) tal que c^3+c^2-2c=1.

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