Exercício 74. Calcule
, onde
e
é a curva parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial
em
e uma curva parametrizada
. O que nos é pedido e os dados relevantes são:
- O campo vetorial é
- A curva é dada pela parametrização
- A tarefa é calcular a integral de linha
onde
é a imagem de
orientada pelo parâmetro crescentemente.
Informações úteis que já podemos notar (sem resolver ainda): o componente
de
tem
, então
não está definida quando
. Na nossa curva
, que é sempre positiva para
, então a curva não passa por pontos onde
seja indefinido.
Passo 2
Estratégia de resolução (por que escolhemos esse caminho)
- Uma forma direta seria parametrizar e calcular
fazendo produtos e integrando — funciona sempre, mas pode dar integrais longas.
- Outra forma (quando possível) é usar que o campo é conservativo: se existir uma função potencial
tal que , então a integral de linha depende só dos pontos finais e vale
- Vou tentar a segunda forma porque, se for aplicável, ela costuma simplificar muito os cálculos. Para usar essa forma precisamos verificar que
no domínio que contém a curva (e que o domínio onde está definido e a curva está inserida é apropriado, aqui a curva fica em , onde é bem definida).
Passo 3
Verificação se
é conservativo: calcular
- Escrevemos
com
- A fórmula do rotacional (curl) em componentes é
onde, por exemplo,
.
- Calculamos as derivadas parciais necessárias explicitamente:
-
-
- Logo
-
-
- Logo
-
-
- Logo
-
- Concluímos que
ou seja,
é irrotacional onde está definida.
Passo 4
Sobre domínio e existência de potencial
- O único ponto de problema no campo é
(devido a ). A região (meio-espaço superior) é um domínio simplesmente conexo e não contém . A nossa curva está inteiramente nesse meio-espaço porque para todo . - Em um domínio simplesmente conexo, se
e é contínuo, então existe uma função potencial tal que . - Portanto podemos procurar
e usar a propriedade do potencial para avaliar a integral por diferença de valores.
Passo 5
Encontrando a função potencial
- Queremos
com
- Integramos
em relação a :
onde
é uma função arbitrária que aparece porque a integração foi só em
.
- Agora usamos
. Diferenciando a expressão encontrada em relação a :
Esse deve ser igual a
. Logo
Integrando em
obtemos
onde
depende só de
.
- Substituímos de volta:
- Finalmente usamos
. Calculando a partir desta expressão:
Devemos ter
. Assim
Integrando em
dá
com
constante arbitrária (que se cancela na diferença final).
- Portanto uma função potencial é
(Para a integral de linha a constante
não importa.)
Passo 6
Aplicar o teorema do gradiente (diferença de potenciais)
- Pela propriedade do potencial,
- Primeiro calculamos os pontos inicial e final da curva:
-
Passo 7
Avaliar
nos pontos e calcular a diferença
- Avaliando em
: -
. -
-
(porque é par). -
-
- Assim
-
- Avaliando em
: -
-
-
-
-
- Assim
-
- Subtraindo: