Exercício 81. Calcule \iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z, onde W é região limitada pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz,
onde W é a região limitada pela esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A região W é a bola sólida de raio 1 centrada na origem, ou seja W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\}.
  • O integrando é x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Quer-se o valor numérico da integral tripla sobre essa bola.

Passo 2

Escolha de coordenadas e motivo: como a região W e o integrando são radiais (dependem só de x^{2}+y^{2}+z^{2}), é muito natural usar coordenadas esféricas, que tornam a integral mais simples. Vou definir as coordenadas esféricas padrão e explicar cada símbolo:
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio), com \rho\ge 0.
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo entre o raio e o eixo z), com 0\le \varphi\le \pi.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (como em coordenadas polares), com 0\le \theta<2\pi.
As relações entre cartesianas e esféricas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Nessas coordenadas, a expressão x^{2}+y^{2}+z^{2} vira simplesmente \rho^{2}:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.

Passo 3

Elemento de volume (Jacobiano) em esféricas: ao fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, o elemento de volume dx\,dy\,dz transforma-se em
dx\,dy\,dz=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação intuitiva: o pequeno volume formado por variações d\rho, d\varphi, d\theta tem tamanho aproximado d\rho (radial) vezes a área de um pequeno anel de raio \rho\sin\varphi e largura \rho\,d\varphi vezes a largura \rho\sin\varphi\,d\theta, o que dá \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Portanto usaremos esse fator.

Passo 4

Expressar a integral em esféricas com os limites: como W é a bola de raio 1, os limites são
0\le \rho\le 1,\qquad 0\le \varphi\le \pi,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Substituindo integrando e elemento de volume:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}, \qquad dx\,dy\,dz=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
logo a integral fica
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} \rho^{2}\cdot \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} \rho^{4}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \rho: primeiro integro em \rho porque os outros limites não dependem de \rho.
\int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
Portanto a integral tripla reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{5}\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi}=-(\cos\pi-\cos 0)=-( -1 - 1)=2.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{5} obtém-se
\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e concluir:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
\frac{2}{5}\cdot 2\pi = \frac{4\pi}{5}.

Passo 8

Breve checagem alternativa (intuição): por simetria, pode-se usar também a fórmula reduzida para integrais radiais sobre a bola:
\iiint_{W} f\big(\rho\big)\,dV = \int_{0}^{1} f(\rho)\,4\pi\rho^{2}\,d\rho.
Aqui f(\rho)=\rho^{2}, então
\int_{0}^{1} \rho^{2}\cdot 4\pi\rho^{2}\,d\rho = 4\pi\int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho = 4\pi\cdot\frac{1}{5}=\frac{4\pi}{5},
o mesmo resultado obtido acima — sinal de consistência.

Resposta

\dfrac{4\pi}{5}

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