Exercício 81. Calcule
, onde
é região limitada pela esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região limitada pela esfera
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A região
é a bola sólida de raio centrada na origem, ou seja - O integrando é
. - Quer-se o valor numérico da integral tripla sobre essa bola.
Passo 2
Escolha de coordenadas e motivo: como a região
e o integrando são radiais (dependem só de
), é muito natural usar coordenadas esféricas, que tornam a integral mais simples. Vou definir as coordenadas esféricas padrão e explicar cada símbolo:
-
é a distância do ponto à origem (raio), com . -
é o ângulo polar medido a partir do eixo (ângulo entre o raio e o eixo ), com . -
é o ângulo azimutal no plano (como em coordenadas polares), com .
As relações entre cartesianas e esféricas são
Nessas coordenadas, a expressão
vira simplesmente
:
Passo 3
Elemento de volume (Jacobiano) em esféricas: ao fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, o elemento de volume
transforma-se em
Explicação intuitiva: o pequeno volume formado por variações
,
,
tem tamanho aproximado
(radial) vezes a área de um pequeno anel de raio
e largura
vezes a largura
, o que dá
. Portanto usaremos esse fator.
Passo 4
Expressar a integral em esféricas com os limites: como
é a bola de raio
, os limites são
Substituindo integrando e elemento de volume:
logo a integral fica
Passo 5
Calcular a integral em
: primeiro integro em
porque os outros limites não dependem de
.
Portanto a integral tripla reduz-se a
Passo 6
Calcular a integral em
:
Multiplicando pelo fator
obtém-se
Passo 7
Calcular a integral em
e concluir:
Multiplicando tudo:
Passo 8
Breve checagem alternativa (intuição): por simetria, pode-se usar também a fórmula reduzida para integrais radiais sobre a bola:
Aqui
, então
o mesmo resultado obtido acima — sinal de consistência.