Exercício 82. Calcule \iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, z \geq\right. 0\}.

Passo 1

O enunciado dá o integral triplo
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy\,dz,
onde W é o meio interior da esfera unitária acima do plano z=0, ou seja o conjunto
  • x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1,
  • z\geq 0.
O que é pedido: calcular o valor numérico desse integral triplo sobre W.
Informações relevantes fornecidas:
  • A região W é a semiesfera de raio 1 com z\geq 0.
  • O integrando é x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Razão: o integrando x^{2}+y^{2} tem simetria circular no plano xy e em coordenadas cilíndricas ele se transforma de forma simples, além disso a região é naturalmente descrita por um limite em z dependente de r. Isso torna as contas mais diretas do que trabalhar em coordenadas cartesianas.
Lembrete rápido (o que cada variável representa em coordenadas cilíndricas):
  • x = r\cos\theta.
  • y = r\sin\theta.
  • z = z (permanece igual).
  • O elemento de volume vale dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz. Vou explicar por que aparece esse fator r no próximo passo.

Passo 3

Intuição e fórmula do jacobiano (por que surge o r): em coordenadas polares no plano xy uma pequena área elementar é aproximadamente um segmento radial dr vezes um arco r\,d\theta, logo dA = r\,dr\,d\theta. Ao adicionar a coordenada z temos o elemento de volume dV = r\,dr\,d\theta\,dz. Esse r é o jacobiano da mudança de variáveis.
Também transformamos o integrando:
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Portanto, na integral aparece o integrando multiplicado pelo jacobiano:
(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy\,dz \longrightarrow r^{2}\cdot (r\,dr\,d\theta\,dz)=r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Descrever os limites de integração para W em cilíndricas:
  • \theta percorre toda a volta: 0\leq \theta\leq 2\pi.
  • Para um dado r fixo, z vai da base z=0 até a superfície da esfera z=\sqrt{1-r^{2}} (pois x^{2}+y^{2}=r^{2} e z^{2}=1-r^{2}).
  • O raio r vai de 0 até 1 (na borda da semiesfera r^{2}+z^{2}=1, com z\ge0 permite r até 1 quando z=0).
Portanto podemos escrever o integral como
\iiint_{W}(x^{2}+y^{2})\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{\sqrt{1-r^{2}}} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em z primeiro (é direto porque integrando r^{3} em z só multiplica por comprimento em z):
\int_{z=0}^{\sqrt{1-r^{2}}} r^{3}\,dz = r^{3}\left[z\right]_{0}^{\sqrt{1-r^{2}}} = r^{3}\sqrt{1-r^{2}}.
Logo o integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1-r^{2}}\,dr.
A integral em \theta é simples e dá um fator 2\pi:
\iiint_{W}(x^{2}+y^{2})\,dV = 2\pi \int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1-r^{2}}\,dr.

Passo 6

Calcular a integral em r. Para simplificar substituições, faça t=r^{2}. Então:
  • t = r^{2},
  • dt = 2r\,dr r\,dr = \dfrac{dt}{2}.
    Note que r^{3}\,dr = r^{2}\cdot r\,dr = t\cdot \dfrac{dt}{2}.
    Os limites: quando r=0 t=0; quando r=1 t=1.
Assim
\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1-r^{2}}\,dr = \int_{0}^{1} \left(t\cdot \frac{dt}{2}\right)\sqrt{1-t} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} t(1-t)^{1/2}\,dt.

Passo 7

Avaliar a integral \displaystyle \int_{0}^{1} t(1-t)^{1/2}\,dt. Para isso faça u=1-t (ou simplesmente expandir via potências). Vou fazer u=1-t:
  • u=1-t du=-dt.
    Quando t=0 u=1. Quando t=1 u=0.
\int_{0}^{1} t(1-t)^{1/2}\,dt = \int_{1}^{0} (1-u)u^{1/2}(-du) = \int_{0}^{1} (1-u)u^{1/2}\,du.
Expanda o integrando:
(1-u)u^{1/2} = u^{1/2} - u^{3/2}.
Integre termo a termo:
\int_{0}^{1} \bigl(u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}-\frac{2}{5} = \frac{10-6}{15} = \frac{4}{15}.
Portanto
\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{1-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{15}.

Passo 8

Multiplicar pelo fator 2\pi que veio da integração em \theta:
\iiint_{W}(x^{2}+y^{2})\,dV = 2\pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{4\pi}{15}.
Interpretação rápida: faz sentido que o resultado seja múltiplo de \pi pela simetria azimutal, e o denominador 15 veio da integração polinomial resultante da forma r^{3}\sqrt{1-r^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{15}

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