Exercício 82. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá o integral triplo
onde
é o meio interior da esfera unitária acima do plano
, ou seja o conjunto
-
, -
.
O que é pedido: calcular o valor numérico desse integral triplo sobre
.
Informações relevantes fornecidas:
- A região
é a semiesfera de raio com . - O integrando é
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar coordenadas cilíndricas
. Razão: o integrando
tem simetria circular no plano
e em coordenadas cilíndricas ele se transforma de forma simples, além disso a região é naturalmente descrita por um limite em
dependente de
. Isso torna as contas mais diretas do que trabalhar em coordenadas cartesianas.
Lembrete rápido (o que cada variável representa em coordenadas cilíndricas):
-
. -
. -
(permanece igual). - O elemento de volume vale
. Vou explicar por que aparece esse fator no próximo passo.
Passo 3
Intuição e fórmula do jacobiano (por que surge o
): em coordenadas polares no plano
uma pequena área elementar é aproximadamente um segmento radial
vezes um arco
, logo
. Ao adicionar a coordenada
temos o elemento de volume
. Esse
é o jacobiano da mudança de variáveis.
Também transformamos o integrando:
Portanto, na integral aparece o integrando multiplicado pelo jacobiano:
Passo 4
Descrever os limites de integração para
em cilíndricas:
-
percorre toda a volta: . - Para um dado
fixo, vai da base até a superfície da esfera (pois e ). - O raio
vai de até (na borda da semiesfera , com permite até quando ).
Portanto podemos escrever o integral como
Passo 5
Integrar em
primeiro (é direto porque integrando
em
só multiplica por comprimento em
):
Logo o integral reduz-se a
A integral em
é simples e dá um fator
:
Passo 6
Calcular a integral em
. Para simplificar substituições, faça
. Então:
-
, -
⇒ .
Note que.
Os limites: quando→ ; quando → .
Assim
Passo 7
Avaliar a integral
. Para isso faça
(ou simplesmente expandir via potências). Vou fazer
:
-
⇒ .
Quando⇒ . Quando ⇒ .
Expanda o integrando:
Integre termo a termo:
Portanto
Passo 8
Multiplicar pelo fator
que veio da integração em
:
Interpretação rápida: faz sentido que o resultado seja múltiplo de
pela simetria azimutal, e o denominador
veio da integração polinomial resultante da forma
.