Exercício 97. Calcule \int_{C} x y d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)= (3 \cos (t), 4 \operatorname{sen}(t)).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha com comprimento de arco
\int_{C} x y \, d s
onde a curva C é dada pela parametrização \alpha:[0,\pi]\to\mathbb{R}^2,
x(t)=3\cos t e y(t)=4\sin t (peguei essas duas expressões da parametrização dada).
O parâmetro t varia de 0 a \pi.
O que é pedido é a integral de uma função escalar f(x,y)=xy ao longo de C com respeito ao comprimento de arco ds.
Passo 2
Lembrando a definição prática de integral de linha em relação ao comprimento de arco: se \alpha(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização suave em t\in[a,b], então
\int_{C} x y \, ds =\int_{0}^{\pi} x(t)\,y(t)\,\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert\,dt =\int_{0}^{\pi} \bigl(3\cos t\bigr)\bigl(4\sin t\bigr)\sqrt{16-7\sin^2 t}\,dt.
Simplificando o coeficiente,
\int_{C} x y \, ds =12\int_{0}^{\pi} \cos t\,\sin t\;\sqrt{16-7\sin^2 t}\;dt.
Passo 5
Para calcular a integral, uso a substituição natural ligada a \sin^2 t. Note que
u=\sin^2 t \quad\Rightarrow\quad du=2\sin t\cos t\,dt,
ou seja \sin t\cos t\,dt=du/2. Atenção: na janela t\in[0,\pi] a função u=\sin^2 t não é monótona — cresce de 0 a 1 em [0,\pi/2] e decresce de 1 a 0 em [\pi/2,\pi] — por isso é conveniente dividir a integral em duas partes:
No intervalo [\pi/2,\pi] temos u variando de 1 a 0 e du=2\sin t\cos t\,dt (a combinação \sin t\cos t é negativa aí, o que fica refletido na mudança de limites). Assim
Portanto, voltando ao fator 12 que havia fora da integral no Passo 4,
\int_{C} x y \, ds =12\cdot 0=0.
(Interpretação rápida: a curva é a metade superior da elipse x^2/9+y^2/16=1; a contribuição positiva quando x>0 é exatamente cancelada pela contribuição negativa quando x<0, por simetria.)