Exercício 97. Calcule \int_{C} x y d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)= (3 \cos (t), 4 \operatorname{sen}(t)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha com comprimento de arco
\int_{C} x y \, d s
onde a curva C é dada pela parametrização \alpha:[0,\pi]\to\mathbb{R}^2,
\alpha(t)=\bigl(3\cos t,\;4\sin t\bigr),\qquad t\in[0,\pi].
Informações relevantes que temos:
  • x(t)=3\cos t e y(t)=4\sin t (peguei essas duas expressões da parametrização dada).
  • O parâmetro t varia de 0 a \pi.
  • O que é pedido é a integral de uma função escalar f(x,y)=xy ao longo de C com respeito ao comprimento de arco ds.

Passo 2

Lembrando a definição prática de integral de linha em relação ao comprimento de arco: se \alpha(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização suave em t\in[a,b], então
\int_{C} f(x,y)\,ds=\int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert\,dt.
Aqui:
  • f(x,y)=xy é a função que vamos integrar ao longo da curva.
  • \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada da parametrização.
  • \lVert\alpha'(t)\rVert é a velocidade da curva, que representa ds/dt.
    Vou aplicar exatamente essa fórmula com a=0 e b=\pi.

Passo 3

Calcular as componentes e a velocidade:
  • Das expressões da parametrização temos
x(t)=3\cos t,\qquad y(t)=4\sin t.
  • Derivando em t,
x'(t)=-3\sin t,\qquad y'(t)=4\cos t.
  • A norma da derivada (velocidade) é
\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(-3\sin t)^2+(4\cos t)^2} =\sqrt{9\sin^2 t+16\cos^2 t}.
Podemos escrever essa raiz em função de \sin^2 t só:
9\sin^2 t+16\cos^2 t=9\sin^2 t+16(1-\sin^2 t)=16-7\sin^2 t,
portanto
\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert=\sqrt{16-7\sin^2 t}.

Passo 4

Montar a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C} x y \, ds =\int_{0}^{\pi} x(t)\,y(t)\,\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert\,dt =\int_{0}^{\pi} \bigl(3\cos t\bigr)\bigl(4\sin t\bigr)\sqrt{16-7\sin^2 t}\,dt.
Simplificando o coeficiente,
\int_{C} x y \, ds =12\int_{0}^{\pi} \cos t\,\sin t\;\sqrt{16-7\sin^2 t}\;dt.

Passo 5

Para calcular a integral, uso a substituição natural ligada a \sin^2 t. Note que
u=\sin^2 t \quad\Rightarrow\quad du=2\sin t\cos t\,dt,
ou seja \sin t\cos t\,dt=du/2. Atenção: na janela t\in[0,\pi] a função u=\sin^2 t não é monótona — cresce de 0 a 1 em [0,\pi/2] e decresce de 1 a 0 em [\pi/2,\pi] — por isso é conveniente dividir a integral em duas partes:
\int_{0}^{\pi}\cos t\sin t\sqrt{16-7\sin^2 t}\,dt =\int_{0}^{\pi/2}\cos t\sin t\sqrt{16-7\sin^2 t}\,dt +\int_{\pi/2}^{\pi}\cos t\sin t\sqrt{16-7\sin^2 t}\,dt.
Agora aplico u=\sin^2 t em cada intervalo:
  • No intervalo [0,\pi/2] temos u variando de 0 a 1 e du=2\sin t\cos t\,dt com sinal positivo. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos t\sin t\sqrt{16-7\sin^2 t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{16-7u}\,du.
  • No intervalo [\pi/2,\pi] temos u variando de 1 a 0 e du=2\sin t\cos t\,dt (a combinação \sin t\cos t é negativa aí, o que fica refletido na mudança de limites). Assim
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos t\sin t\sqrt{16-7\sin^2 t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{1}^{0}\sqrt{16-7u}\,du =-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{16-7u}\,du.
Somando as duas partes obtemos cancelamento:
\int_{0}^{\pi}\cos t\sin t\sqrt{16-7\sin^2 t}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{16-7u}\,du-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{16-7u}\,du=0.
Portanto, voltando ao fator 12 que havia fora da integral no Passo 4,
\int_{C} x y \, ds =12\cdot 0=0.
(Interpretação rápida: a curva é a metade superior da elipse x^2/9+y^2/16=1; a contribuição positiva quando x>0 é exatamente cancelada pela contribuição negativa quando x<0, por simetria.)

Resposta

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