Exercício 96. Calcule \int_{C}\left(x^{2}-2 x y\right) d s, onde C é parametrizada por \alpha:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(-\operatorname{sen}(t), \cos (t)).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral ao longo da curva C
\int_{C}\left(x^{2}-2 x y\right)\,d s,
onde a curva C é dada pela parametrização \alpha:\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}^2,
A função a integrar ao longo de C é f(x,y)=x^{2}-2xy.
A parametrização fornece x(t)=-\operatorname{sen}(t) e y(t)=\cos(t).
O intervalo do parâmetro é t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
A integral é do tipo “integral de uma função escalar ao longo de uma curva” com d s (elemento de comprimento de arco).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando bem): se uma curva C é parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], e f(x,y) é uma função escalar, então a integral de linha com respectivo ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,d s \;=\; \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt.
O que cada símbolo significa:
f(x,y) é a função que estamos integrando sobre a curva;
x(t),y(t) são as coordenadas da curva em função do parâmetro t;
\alpha'(t) é a derivada vetorial \big(x'(t),y'(t)\big);
\big\|\alpha'(t)\big\| é a norma (comprimento) do vetor \alpha'(t) e representa o fator de escala que transforma dt em d s;
os limites a e b são o intervalo do parâmetro dado.
Passo 3
Calcular \alpha'(t) e sua norma. Da parametrização:
Interpretação rápida e checagem: a parametrização descreve um arco do círculo de raio 1 e a velocidade é unitária, por isso d s=dt facilitou muito a integral. Os cálculos trigonométricos usados (identidade de \operatorname{sen}^{2} e a fórmula do dobro de ângulo) são padrão e foram aplicados passo a passo.