Exercício 96. Calcule \int_{C}\left(x^{2}-2 x y\right) d s, onde C é parametrizada por \alpha:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(-\operatorname{sen}(t), \cos (t)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral ao longo da curva C
\int_{C}\left(x^{2}-2 x y\right)\,d s,
onde a curva C é dada pela parametrização \alpha:\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}^2,
\alpha(t)=\big(-\operatorname{sen}(t),\,\cos(t)\big).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função a integrar ao longo de C é f(x,y)=x^{2}-2xy.
  • A parametrização fornece x(t)=-\operatorname{sen}(t) e y(t)=\cos(t).
  • O intervalo do parâmetro é t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
  • A integral é do tipo “integral de uma função escalar ao longo de uma curva” com d s (elemento de comprimento de arco).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando bem): se uma curva C é parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], e f(x,y) é uma função escalar, então a integral de linha com respectivo ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,d s \;=\; \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt.
O que cada símbolo significa:
  • f(x,y) é a função que estamos integrando sobre a curva;
  • x(t),y(t) são as coordenadas da curva em função do parâmetro t;
  • \alpha'(t) é a derivada vetorial \big(x'(t),y'(t)\big);
  • \big\|\alpha'(t)\big\| é a norma (comprimento) do vetor \alpha'(t) e representa o fator de escala que transforma dt em d s;
  • os limites a e b são o intervalo do parâmetro dado.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) e sua norma. Da parametrização:
x(t)=-\operatorname{sen}(t),\qquad y(t)=\cos(t).
Derivando componente a componente:
x'(t)=-\cos(t),\qquad y'(t)=-\operatorname{sen}(t).
Portanto
\alpha'(t)=\big(-\cos(t),\,-\operatorname{sen}(t)\big).
A norma é
\big\|\alpha'(t)\big\|=\sqrt{(-\cos(t))^{2}+(-\operatorname{sen}(t))^{2}} =\sqrt{\cos^{2}(t)+\operatorname{sen}^{2}(t)}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}(t)+\operatorname{sen}^{2}(t)=1, obtemos
\big\|\alpha'(t)\big\|=1.
Então d s=\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt=dt. (Ou seja, essa parametrização tem velocidade unitária.)

Passo 4

Substituir x(t) e y(t) na função f(x,y)=x^{2}-2xy. Calculemos passo a passo:
x(t)^{2}=(-\operatorname{sen}(t))^{2}=\operatorname{sen}^{2}(t).
E
-2x(t)y(t)=-2\big(-\operatorname{sen}(t)\big)\cos(t)=2\,\operatorname{sen}(t)\cos(t).
Somando,
f\big(x(t),y(t)\big)=\operatorname{sen}^{2}(t)+2\,\operatorname{sen}(t)\cos(t).
Observação útil (identidade trigonométrica): 2\operatorname{sen}(t)\cos(t)=\operatorname{sen}(2t). Logo uma forma mais compacta é
f\big(x(t),y(t)\big)=\operatorname{sen}^{2}(t)+\operatorname{sen}(2t).

Passo 5

Montar a integral em t usando a fórmula do Passo 2 e o fato de \big\|\alpha'(t)\big\|=1:
\int_{C}\big(x^{2}-2xy\big)\,d s =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big(\operatorname{sen}^{2}(t)+\operatorname{sen}(2t)\Big)\,dt.
Agora calcule cada termo separadamente.
  1. Integral de \operatorname{sen}^{2}(t). Usar a identidade de redução
\operatorname{sen}^{2}(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}^{2}(t)\,dt =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos(2t)}{2}\,dt =\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin(2t)}{4}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.
Avaliação nos limites:
\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2}-\frac{\sin(\pi)}{4} -\left(0-\frac{\sin(0)}{4}\right) =\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.
  1. Integral de \operatorname{sen}(2t). Temos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(2t)\,dt =\left[-\frac{\cos(2t)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.
Avaliação nos limites:
-\frac{\cos(\pi)}{2}-\Big(-\frac{\cos(0)}{2}\Big) =-\frac{(-1)}{2}+\frac{1}{2}=1.
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big(\operatorname{sen}^{2}(t)+\operatorname{sen}(2t)\Big)\,dt =\frac{\pi}{4}+1.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: a parametrização descreve um arco do círculo de raio 1 e a velocidade é unitária, por isso d s=dt facilitou muito a integral. Os cálculos trigonométricos usados (identidade de \operatorname{sen}^{2} e a fórmula do dobro de ângulo) são padrão e foram aplicados passo a passo.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}+1

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