Exercício 7. Pedro e Paulo entram juntos numa barbearia e são atendidos imediatamente por dois barbeiros. Pedro quer aparar a barba e Paulo quer cortar o cabelo. Se o tempo de corte do cabelo tem distribuição exponencial com taxa 1 / 20 minutos e o tempo de aparo da barba tem distribuição exponencial com taxa 1 / 15 minutos, qual a probabilidade de que Pedro saia antes de Paulo?

Passo 1

Pedro e Paulo começam ao mesmo tempo. O tempo que Pedro leva para aparar a barba é uma variável aleatória X\sim\mathrm{Exp}(\lambda_X) com \lambda_X = \tfrac1{15} (mi n^{-}¹), e o tempo que Paulo leva para cortar o cabelo é Y\sim\mathrm{Exp}(\lambda_Y) com \lambda_Y = \tfrac1{20} (mi n^{-}¹). São independentes. Queremos
P(X<Y).

Passo 2

Usamos a fórmula
P(X<Y)\;=\;\int_{0}^{\infty}f_X(x)\,P(Y>x)\,dx,
onde f_X(x) é a densidade de X e P(Y>x) é a cauda de Y.

Passo 3

Como X\sim\mathrm{Exp}(\lambda_X) e Y\sim\mathrm{Exp}(\lambda_Y), temos
f_X(x)=\lambda_X e^{-\lambda_X x}, \quad P(Y>x)=e^{-\lambda_Y x}.
Logo
P(X<Y) =\int_{0}^{\infty}\lambda_X e^{-\lambda_X x}\,e^{-\lambda_Y x}\,dx =\lambda_X\int_{0}^{\infty}e^{-(\lambda_X+\lambda_Y)x}\,dx.

Passo 4

Calculando o integral:
\int_{0}^{\infty}e^{-(\lambda_X+\lambda_Y)x}\,dx =\frac{1}{\lambda_X+\lambda_Y}.
Portanto
P(X<Y) =\frac{\lambda_X}{\lambda_X+\lambda_Y} =\frac{\tfrac1{15}}{\tfrac1{15}+\tfrac1{20}} =\frac{1/15}{(4+3)/60} =\frac{1/15}{7/60} =\frac{60}{15\cdot7} =\frac{4}{7}.

Resposta

A probabilidade de que Pedro saia antes de Paulo é \tfrac{4}{7}.

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