Exercício 7. Pedro e Paulo entram juntos numa barbearia e são atendidos imediatamente por dois barbeiros. Pedro quer aparar a barba e Paulo quer cortar o cabelo. Se o tempo de corte do cabelo tem distribuição exponencial com taxa
minutos e o tempo de aparo da barba tem distribuição exponencial com taxa
minutos, qual a probabilidade de que Pedro saia antes de Paulo?
Passo 1
Pedro e Paulo começam ao mesmo tempo. O tempo que Pedro leva para aparar a barba é uma variável aleatória
com
(mi
¹), e o tempo que Paulo leva para cortar o cabelo é
com
(mi
¹). São independentes. Queremos
Passo 2
Usamos a fórmula
onde
é a densidade de
e
é a cauda de
.
Passo 3
Como
e
, temos
Logo
Passo 4
Calculando o integral:
Portanto
Resposta
A probabilidade de que Pedro saia antes de Paulo é
.