Exercício 8. Duas pessoas combinam de se encontrarem num determinado lugar entre 12 e 13 horas. Elas também combinam que cada um esperará a horas,
, pela chegada da outra. Assumindo que a chegada das duas pessoas são independentes e uniformemente distribuídas (no intervalo de 12 a 13 horas), encontre:
(a) A probabilidade
de que elas efetivamente se encontrem.
(b) O valor de a para que elas se encontrem com probabilidade 0.84 .
(a) A probabilidade
(b) O valor de a para que elas se encontrem com probabilidade 0.84 .
Passo 1
O enunciado diz que duas pessoas chegam aleatoriamente e independentemente entre 12 h e 13 h, isto é, cada tempo de chegada pode ser modelado por uma variável aleatória
ou
uniformes em
(horas após as 12 h). Elas concordam em esperar até
horas pela outra, com
. O conteúdo aqui é probabilidade geométrica, e vamos usar a interpretação geométrica no quadrado unitário
para calcular
(a) a probabilidade de encontro e
(b) o valor de que torna
.
(a) a probabilidade de encontro
(b) o valor de
Passo 2
A condição para elas se encontrarem é que o atraso de uma em relação à outra seja no máximo
. Em termos das variáveis
e
, isso é
Passo 3
Geometricamente, no quadrado unitário, a região favorável é a “faixa” ao redor da reta
com distância máxima
. Essa faixa é
Passo 4
O complemento dessa faixa são dois triângulos retângulos, cada um com cateto de comprimento
, cuja área total é
Como a área total do quadrado é
, a probabilidade de encontro é
Passo 5
Para encontrar
tal que
, resolvemos
ou seja
A solução é
Como
, temos
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)