Exercício 8. Duas pessoas combinam de se encontrarem num determinado lugar entre 12 e 13 horas. Elas também combinam que cada um esperará a horas, 0<a<1, pela chegada da outra. Assumindo que a chegada das duas pessoas são independentes e uniformemente distribuídas (no intervalo de 12 a 13 horas), encontre:
(a) A probabilidade p de que elas efetivamente se encontrem.
(b) O valor de a para que elas se encontrem com probabilidade 0.84 .

Passo 1

O enunciado diz que duas pessoas chegam aleatoriamente e independentemente entre 12 h e 13 h, isto é, cada tempo de chegada pode ser modelado por uma variável aleatória X ou Y uniformes em [0,1] (horas após as 12 h). Elas concordam em esperar até a horas pela outra, com 0<a<1. O conteúdo aqui é probabilidade geométrica, e vamos usar a interpretação geométrica no quadrado unitário [0,1]\times[0,1] para calcular
(a) a probabilidade de encontro p e
(b) o valor de a que torna p=0{,}84.

Passo 2

A condição para elas se encontrarem é que o atraso de uma em relação à outra seja no máximo a. Em termos das variáveis X e Y, isso é
|X - Y| \le a.

Passo 3

Geometricamente, no quadrado unitário, a região favorável é a “faixa” ao redor da reta X=Y com distância máxima a. Essa faixa é
\{(x,y)\in[0,1]^2 : |x-y|\le a\}.

Passo 4

O complemento dessa faixa são dois triângulos retângulos, cada um com cateto de comprimento 1-a, cuja área total é
2\cdot\frac{(1-a)^2}{2} = (1-a)^2.
Como a área total do quadrado é 1, a probabilidade de encontro é
p = 1 - (1-a)^2 = 1 - (1 - 2a + a^2) = 2a - a^2.

Passo 5

Para encontrar a tal que p=0{,}84, resolvemos
2a - a^2 = 0{,}84
ou seja
a^2 - 2a + 0{,}84 = 0.
A solução é
a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4\cdot0{,}84}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{0{,}64}}{2} = \frac{2 \pm 0{,}8}{2}.
Como 0<a<1, temos a=(2 - 0{,}8)/2 = 0{,}6.

Resposta

(a) \displaystyle p = 2a - a^2.
(b) \displaystyle a = 0{,}6.

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