Exercício 9\left(\mathbb{R}^{3}\right) : Encontre o polinômio característico, os autovalores e uma base para cada autoespaço da transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por:
T(x, y, z)=(2 x+y+z, 2 y+z, 2 z)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(2x+y+z,\;2y+z,\;2z).
O que é pedido:
Encontrar o polinômio característico de T.
Encontrar os autovalores (valores próprios, eigenvalues).
Para cada autovalor, dar uma base do autoespaço correspondente (conjunto de autovetores não nulos com soma com o vetor zero).
Informações relevantes que temos:
A transformação está dada em coordenadas canônicas (x,y,z).
Para obter o polinômio característico precisamos da matriz de T em relação à base padrão e então calcular o determinante apropriado.
Vamos trabalhar com a base padrão \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a matriz de T na base padrão. Lembre que a coluna j da matriz é T(e_j), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Explicação rápida: cada coluna veio diretamente da imagem de um vetor da base; isso é padrão ao passar de transformação linear para matriz.]
Passo 3
Definição que vamos usar: o polinômio característico p(\lambda) é
p(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade. Como A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são 0), vale uma propriedade muito útil: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Logo
Escrevendo o sistema (A-2I)(x,y,z)^\top=0 obtemos as equações:
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \;z=0\]. Substituindo na primeira obtemos \(\;y+0=0\Rightarrow y=0. Não há equação envolvendo x, então x é livre.
Portanto as soluções têm a forma
(x,y,z)=(x,0,0)=x(1,0,0),\quad x\in\mathbb{R}.
O autoespaço correspondente a \lambda=2 é o subespaço gerado por (1,0,0), isto é
E_{2}=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}.
Explicação adicional: a dimensão do autoespaço (multiplicidade geométrica) é 1. Pelo teorema da nulidade, \dim\ker(A-2I)=3-\operatorname{rank}(A-2I). Observando a forma escalonada de A-2I vemos que \operatorname{rank}(A-2I)=2, então \dim\ker=1, consistente com a solução acima.]
Passo 5
Interpretação final sobre diagonalização (útil para prova): o autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 3 mas o autoespaço tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1). Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, a matriz A (e portanto T) não é diagonalizável — não existem 3 autovetores linearmente independentes.