Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. Selecione as verdadeiras.
|\overrightarrow{L E}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{N L}|

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação
|\overrightarrow{L E}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{N L}|
é verdadeira ou falsa.
Informações dadas (retiradas da figura):
  • A figura é um quadrado dividido em 3\times3 pequenas células congruentes (isto é, três colunas e três linhas de quadradinhos iguais).
  • As linhas verticais estão em abscissas igualmente espaçadas; as horizontais em ordenadas igualmente espaçadas.
  • Os rótulos laterais indicam as linhas horizontais em y=0,1,2,3 (de baixo para cima) e os rótulos superiores indicam as linhas verticais em x=0,1,2,3 (da esquerda para a direita).
    (Atribuirei as coordenadas baseadas nesses quadradinhos iguais para poder calcular distâncias.)

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas simples para trabalhar (explicação didática):
  • Colocar a origem no canto inferior esquerdo do quadrado (ponto da interseção das linhas inferiores e esquerda).
  • Cada quadradinho tem lado igual a 1 (escolha de escala conveniente; qualquer outra escala proporcional daria o mesmo resultado para comparação de razões).
Com isso, as retas verticais ficam em x=0,1,2,3 e as horizontais em y=0,1,2,3. Pelas marcações da figura:
  • L está na borda esquerda na linha horizontal do meio-alto, ou seja em \displaystyle L=(0,2).
  • E está na borda direita na mesma linha horizontal, ou seja em \displaystyle E=(3,2).
    (Estas coordenadas foram obtidas a partir da informação visual da grade.)

Passo 3

Calcular |\overrightarrow{L E}| usando a fórmula da distância entre dois pontos (aula rápida):
  • Fórmula: a distância entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aplicando a L=(0,2) e E=(3,2):
|\overrightarrow{L E}|=\sqrt{(3-0)^2+(2-2)^2}=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Analisar |\overrightarrow{N L}|. Observação prática e argumento de comparação:
  • O ponto N está em alguma posição dentro do quadrado (mais precisamente em uma das células do topo/médio, conforme a figura), portanto a distância máxima possível entre N e L é a distância entre L e o canto mais distante do quadrado.
  • O canto mais distante de L=(0,2) dentro do quadrado é o canto superior direito D=(3,3). Assim
|\overrightarrow{N L}|\le |\overrightarrow{D L}|=\sqrt{(3-0)^2+(3-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\approx1{,} (3{,}162\ldots).
(Explicando: mesmo que N estivesse no ponto mais distante possível, essa é a maior distância que N pode ter de L.)

Passo 5

Concluir se a igualdade pode ocorrer:
  • Se |\overrightarrow{N L}|\le\sqrt{10}, então
\frac{1}{2}|\overrightarrow{N L}|\le\frac{1}{2}\sqrt{10}\approx\frac{3{,}162}{2}\approx1{,}581\ldots
  • Mas calculamos |\overrightarrow{L E}|=3. Como 3>1{,}581\ldots, a igualdade
|\overrightarrow{L E}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{N L}|
é impossível (mesmo no caso extremo em que N está no ponto mais distante possível). Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa

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