Exercício 8 (
): Determine os autovalores e os autovetores correspondentes do operador linear
definido pela matriz:
Passo 1
O enunciado dá a matriz do operador linear
:
O que é pedido:
- Determinar os autovalores (ou seja, os valores de
para os quais existe um autovetor não nulo). - Determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor.]
Passo 2
Definição e estratégia (passo-a-passo didático).
- Dizemos que
é um autovalor de se existe um vetor não nulo tal que
- Isso é equivalente a
ou seja,
está no núcleo da matriz
. Para haver solução não trivial precisamos que
. Essa equação em
chama-se polinômio característico.
- Para uma matriz
com entradas vale a fórmula
Vamos aplicar isso a
.
Passo 3
Montar
e calcular o polinômio característico:
Aplicando a fórmula do determinante para
:
Portanto o polinômio característico é
As raízes (autovalores) são as soluções de
, ou seja
Passo 4
Encontrar autovetores para
- Resolver
com . Isso dá o sistema
Ambas as equações reduzem a
, então
é livre (qualquer número real).
- Logo os autovetores associados a
são todos os vetores da forma
Uma escolha canônica (representante) é
.]
Passo 5
Encontrar autovetores para
- Resolver
com . O sistema é
A primeira equação dá
livre igual a
, tem-se
.
- Assim os autovetores correspondentes a
são todos os vetores da forma
Uma escolha canônica é
.]
Passo 6
Observações finais e dica prática para a prova.
- Note que os autovalores são distintos (
e ), então os autovetores obtidos são linearmente independentes; isso significa que é diagonalizável (dica útil em outros exercícios). - Em provas costuma bastar indicar um representante não nulo de cada espaço próprio (por exemplo
e ). Se pedirem, pode-se normalizar os vetores dividindo pelo comprimento.]