Calcule o seguinte limite de função vetorial, se existir:
\lim _{t \rightarrow 2}\left(3 t \mathbf{i}+\frac{2}{t^{2}-1} \mathbf{j}+\frac{1}{t} \mathbf{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite, quando t \to 2, da função vetorial
3t\,\mathbf{i}+\frac{2}{t^{2}-1}\,\mathbf{j}+\frac{1}{t}\,\mathbf{k}.
Informações dadas:
  • A variável é t (real) que tende para 2.
  • Os componentes escalares são 3t, \dfrac{2}{t^{2}-1} e \dfrac{1}{t}.
    O que se pede: encontrar o valor do limite (se ele existir).

Passo 2

Plano e justificativa do método: vamos calcular o limite componente a componente e depois juntar os resultados. A propriedade que usamos é:
\lim_{t\to a}\big(f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}\big) = \big(\lim_{t\to a}f(t)\big)\mathbf{i}+\big(\lim_{t\to a}g(t)\big)\mathbf{j}+\big(\lim_{t\to a}h(t)\big)\mathbf{k},
desde que os três limites escalares existam (se cada componente tende a um número real, o vetor tende ao vetor formado por esses números). Intuição rápida: a norma do vetor diferença é a raiz da soma dos quadrados das diferenças das componentes, então controlar as componentes controla o vetor.

Passo 3

Identificar as três funções escalares e analisar continuidade/valores em t=2:
  • f(t)=3t. É um polinômio, contínuo em todo t. Logo
\lim_{t\to 2}f(t)=f(2)=3\cdot 2=6.
  • g(t)=\dfrac{2}{t^{2}-1}. É uma função racional; é contínua em pontos onde o denominador não é zero. Calcular o denominador em t=2:
t^{2}-1 \big|_{t=2}=2^{2}-1=4-1=3\neq 0.
Como o denominador em t=2 não é zero, g é contínua em 2 e
\lim_{t\to 2}g(t)=g(2)=\frac{2}{3}.
  • h(t)=\dfrac{1}{t}. Também é racional, contínua onde t\neq 0. Como 2\neq 0,
\lim_{t\to 2}h(t)=h(2)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Juntando os limites das componentes usando a propriedade do Passo 2, obtemos
\lim_{t\to 2}\left(3t\,\mathbf{i}+\frac{2}{t^{2}-1}\,\mathbf{j}+\frac{1}{t}\,\mathbf{k}\right) =6\,\mathbf{i}+\frac{2}{3}\,\mathbf{j}+\frac{1}{2}\,\mathbf{k}.

Passo 5

Verificação da existência: todos os limites escalares existem e são finitos ( 6,\\ \tfrac{2}{3},\\ \tfrac{1}{2}), portanto o limite vetorial existe e é o vetor calculado.

Resposta

\displaystyle 6\mathbf{i}+\frac{2}{3}\mathbf{j}+\frac{1}{2}\mathbf{k}

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