Calcule o seguinte limite de função vetorial, se existir: \lim _{t \rightarrow 2}\left(3 t \mathbf{i}+\frac{2}{t^{2}-1} \mathbf{j}+\frac{1}{t} \mathbf{k}\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite, quando t \to 2, da função vetorial
desde que os três limites escalares existam (se cada componente tende a um número real, o vetor tende ao vetor formado por esses números). Intuição rápida: a norma do vetor diferença é a raiz da soma dos quadrados das diferenças das componentes, então controlar as componentes controla o vetor.
Passo 3
Identificar as três funções escalares e analisar continuidade/valores em t=2:
f(t)=3t. É um polinômio, contínuo em todo t. Logo
\lim_{t\to 2}f(t)=f(2)=3\cdot 2=6.
g(t)=\dfrac{2}{t^{2}-1}. É uma função racional; é contínua em pontos onde o denominador não é zero. Calcular o denominador em t=2:
t^{2}-1 \big|_{t=2}=2^{2}-1=4-1=3\neq 0.
Como o denominador em t=2 não é zero, g é contínua em 2 e
\lim_{t\to 2}g(t)=g(2)=\frac{2}{3}.
h(t)=\dfrac{1}{t}. Também é racional, contínua onde t\neq 0. Como 2\neq 0,
\lim_{t\to 2}h(t)=h(2)=\frac{1}{2}.
Passo 4
Juntando os limites das componentes usando a propriedade do Passo 2, obtemos
Verificação da existência: todos os limites escalares existem e são finitos (6,\\ \tfrac{2}{3},\\ \tfrac{1}{2}), portanto o limite vetorial existe e é o vetor calculado.