4.1 Exercício 6.2 - Aceleração em Escoamento 3D

Um escoamento tridimensional é descrito pela equação: \vec{V}=y z \hat{i}+x^{2} z \hat{j}+x \hat{k}
Determine as expressões para os componentes do vetor aceleração deste escoamento.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades tridimensional
\vec{V}=y z\,\hat{i}+x^{2} z\,\hat{j}+x\,\hat{k}
e pede: determinar as expressões dos componentes do vetor aceleração desse escoamento.
Informações relevantes que temos do enunciado (vou nomear as componentes para ficar mais claro):
u(x,y,z)=y z,\qquad v(x,y,z)=x^{2} z,\qquad w(x,y,z)=x.
A tarefa é achar a_x, a_y e a_z, os componentes do vetor aceleração \vec{a}.

Passo 2

O conceito que vamos usar: a aceleração material (ou total) de um ponto de fluido é a taxa de variação total da velocidade seguindo a partícula. A fórmula é
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Explicando as peças:
  • \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} é a derivada parcial no tempo (variação local). Aqui o campo de velocidades não depende explicitamente de t, então \frac{\partial\vec{V}}{\partial t}=\vec{0}.
  • \vec{V}\cdot\nabla é o operador convectivo: se \vec{V}=(u,v,w), então
\vec{V}\cdot\nabla = u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}.
Aplicando esse operador a \vec{V} componente a componente obtemos os componentes convectivos da aceleração:
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z},
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z},
a_z = u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}.
Isso porque \frac{\partial \vec V}{\partial t}=\vec 0 no nosso caso.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo):
Para u(y,z)=y z:
\frac{\partial u}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=z,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=y.
Para v(x,z)=x^{2} z:
\frac{\partial v}{\partial x}=2x z,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=x^{2}.
Para w(x)=x:
\frac{\partial w}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=0.
Guarde essas derivadas; agora substituímos nas fórmulas do passo anterior.

Passo 4

Calcular a_x. Usando
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z},
substituindo u=y z, v=x^{2}z, w=x e as derivadas do passo 3:
a_x = (y z)\cdot 0 + (x^{2} z)\cdot z + x\cdot y.
Fazendo as multiplicações:
a_x = x^{2} z^{2} + x y.

Passo 5

Calcular a_y. Usando
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z},
substituindo:
a_y = (y z)\cdot(2x z) + (x^{2} z)\cdot 0 + x\cdot x^{2}.
Simplificando termo a termo:
a_y = 2 x y z^{2} + x^{3}.

Passo 6

Calcular a_z. Usando
a_z = u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z},
substituindo:
a_z = (y z)\cdot 1 + (x^{2} z)\cdot 0 + x\cdot 0.
Portanto:
a_z = y z.

Passo 7

Escrevendo o vetor aceleração completo (resultado compactado):
\vec{a} = \bigl(x^{2} z^{2} + x y\bigr)\,\hat{i} + \bigl(2 x y z^{2} + x^{3}\bigr)\,\hat{j} + \bigl(y z\bigr)\,\hat{k}.

Resposta

\;a_x = x^{2} z^{2} + x y
\;a_y = 2 x y z^{2} + x^{3}
\;a_z = y z

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