4.1 Exercício 6.2 - Aceleração em Escoamento 3D
Um escoamento tridimensional é descrito pela equação:
Determine as expressões para os componentes do vetor aceleração deste escoamento.
Determine as expressões para os componentes do vetor aceleração deste escoamento.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades tridimensional
e pede: determinar as expressões dos componentes do vetor aceleração desse escoamento.
Informações relevantes que temos do enunciado (vou nomear as componentes para ficar mais claro):
Informações relevantes que temos do enunciado (vou nomear as componentes para ficar mais claro):
A tarefa é achar
,
e
, os componentes do vetor aceleração
.
Passo 2
O conceito que vamos usar: a aceleração material (ou total) de um ponto de fluido é a taxa de variação total da velocidade seguindo a partícula. A fórmula é
Explicando as peças:
-
é a derivada parcial no tempo (variação local). Aqui o campo de velocidades não depende explicitamente de , então . -
é o operador convectivo: se , então
Aplicando esse operador a
componente a componente obtemos os componentes convectivos da aceleração:
Isso porque
no nosso caso.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo):
Para :
Para
Para
:
Para
:
Guarde essas derivadas; agora substituímos nas fórmulas do passo anterior.
Passo 4
Calcular
. Usando
substituindo
,
,
e as derivadas do passo 3:
Fazendo as multiplicações:
Passo 5
Calcular
. Usando
substituindo:
Simplificando termo a termo:
Passo 6
Calcular
. Usando
substituindo:
Portanto:
Passo 7
Escrevendo o vetor aceleração completo (resultado compactado):