4.2 Exercício 6.3 - Taxa de Dilatação e Rotação

Os três componentes do vetor velocidade de um escoamento são:
\begin{aligned} u & =x^{2}+y^{2}+z^{2} \\\ v & =x y+y z+z^{2} \\\ w & =-3 x z-z^{2} / 2+4 \end{aligned}
(a) Determine a taxa de dilatação volumétrica e interprete o resultado.
(b) Determine a expressão do vetor rotação. Este escoamento é irrotacional?

Passo 1

O enunciado fornece as componentes do vetor velocidade \mathbf{v}=(u,v,w) do escoamento:
u = x^{2}+y^{2}+z^{2},
v = x y + y z + z^{2},
w = -3 x z - \tfrac{1}{2}z^{2} + 4.
As perguntas são:
(a) Determinar a taxa de dilatação volumétrica (ou seja, o valor de \nabla\cdot\mathbf{v}) e interpretar o resultado.
(b) Determinar a expressão do vetor rotação (isto é, \nabla\times\mathbf{v}) e dizer se o escoamento é irrotacional.

Passo 2

O que é a taxa de dilatação volumétrica e como calculá-la (explicação didática): a taxa de dilatação volumétrica mede a taxa instantânea de variação do volume de um elemento de fluido quando este se desloca com o escoamento. Matematicamente usamos a divergência do campo velocidade:
\nabla\cdot\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Aqui \partial u/\partial x é a taxa de variação da componente u na direção x, \partial v/\partial y a taxa de variação de v na direção y, e \partial w/\partial z a de w na direção z. Se \nabla\cdot\mathbf{v}>0 localmente o fluido está se expandindo (dilatação); se <0 está comprimindo; se =0 não há variação volumétrica local (escoamento incompressível).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para a divergência (mostrar cada conta):
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2x,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy+yz+z^{2}\bigr)=x+z,
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-3xz-\tfrac{1}{2}z^{2}+4\bigr)=-3x - z.
Expliquei: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes; por exemplo em v a derivada de xy por y é x, de yz por y é z, e z^{2} não depende de y.

Passo 4

Somar as derivadas para obter a divergência e interpretar:
\nabla\cdot\mathbf{v}=2x+(x+z)+(-3x-z)=2x+x-3x+z-z=0.
Portanto a taxa de dilatação volumétrica é nula em todo o espaço. Interpretação: o escoamento não produz variação local de volume dos elementos fluido — ou seja, é incompressível (taxa de dilatação volumétrica igual a zero).

Passo 5

O que é o vetor rotação e como calculá-lo (explicação didática): o vetor rotação (ou vorticidade) é dado pelo rotacional (curl) do campo velocidade,
\nabla\times\mathbf{v}=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \end{pmatrix}.
Fisicamente, esse vetor indica o eixo e a intensidade da rotação local do fluido. Se \nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0} em toda a região então o escoamento é irrotacional.]

Passo 6

Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional (mostrando cada conta):
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy+yz+z^{2}\bigr)=y,
\frac{\partial v}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xy+yz+z^{2}\bigr)=y+2z,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2y,
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2z,
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3xz-\tfrac{1}{2}z^{2}+4\bigr)=-3z,
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3xz-\tfrac{1}{2}z^{2}+4\bigr)=0.
Expliquei: cada derivada é direta, por exemplo \partial v/\partial z soma a derivada de yz que é y e de z^{2} que é 2z.

Passo 7

Montar o vetor rotação usando as derivadas calculadas e simplificar cada componente:
componente x:
\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=0-(y+2z)=-y-2z,
componente y:
\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=2z-(-3z)=2z+3z=5z,
componente z:
\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=y-2y=-y.
Logo
\nabla\times\mathbf{v}=(-y-2z,\;5z,\;-y).

Passo 8

Concluir sobre irrotacionalidade e observação final: o escoamento é irrotacional somente se \nabla\times\mathbf{v}\equiv\mathbf{0}. Aqui \nabla\times\mathbf{v}=(-y-2z,5z,-y) não é o vetor zero para todos os (x,y,z) (por exemplo para z\neq0 a componente y é 5z\neq0). Portanto o escoamento NÃO é irrotacional. Observação útil: existem pontos isolados (por exemplo y=0 e z=0 simultaneamente) onde a vorticidade se anula, mas isso não torna o campo globalmente irrotacional.

Resposta

(a) \nabla\cdot\mathbf{v}=0 (taxa de dilatação volumétrica nula ⇒ escoamento incompressível).
(b) \nabla\times\mathbf{v}=(-y-2z,\;5z,\;-y). Não, o escoamento não é irrotacional.

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