Os três componentes do vetor velocidade de um escoamento são:
\begin{aligned} u & =x^{2}+y^{2}+z^{2} \\\ v & =x y+y z+z^{2} \\\ w & =-3 x z-z^{2} / 2+4 \end{aligned}
(a) Determine a taxa de dilatação volumétrica e interprete o resultado.
(b) Determine a expressão do vetor rotação. Este escoamento é irrotacional?
Passo 1
O enunciado fornece as componentes do vetor velocidade \mathbf{v}=(u,v,w) do escoamento:
u = x^{2}+y^{2}+z^{2},
v = x y + y z + z^{2},
w = -3 x z - \tfrac{1}{2}z^{2} + 4.
As perguntas são:
(a) Determinar a taxa de dilatação volumétrica (ou seja, o valor de \nabla\cdot\mathbf{v}) e interpretar o resultado.
(b) Determinar a expressão do vetor rotação (isto é, \nabla\times\mathbf{v}) e dizer se o escoamento é irrotacional.
Passo 2
O que é a taxa de dilatação volumétrica e como calculá-la (explicação didática): a taxa de dilatação volumétrica mede a taxa instantânea de variação do volume de um elemento de fluido quando este se desloca com o escoamento. Matematicamente usamos a divergência do campo velocidade:
Aqui \partial u/\partial x é a taxa de variação da componente u na direção x, \partial v/\partial y a taxa de variação de v na direção y, e \partial w/\partial z a de w na direção z. Se \nabla\cdot\mathbf{v}>0 localmente o fluido está se expandindo (dilatação); se <0 está comprimindo; se =0 não há variação volumétrica local (escoamento incompressível).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para a divergência (mostrar cada conta):
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-3xz-\tfrac{1}{2}z^{2}+4\bigr)=-3x - z.
Expliquei: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes; por exemplo em v a derivada de xy por y é x, de yz por y é z, e z^{2} não depende de y.
Passo 4
Somar as derivadas para obter a divergência e interpretar:
Portanto a taxa de dilatação volumétrica é nula em todo o espaço. Interpretação: o escoamento não produz variação local de volume dos elementos fluido — ou seja, é incompressível (taxa de dilatação volumétrica igual a zero).
Passo 5
O que é o vetor rotação e como calculá-lo (explicação didática): o vetor rotação (ou vorticidade) é dado pelo rotacional (curl) do campo velocidade,
Fisicamente, esse vetor indica o eixo e a intensidade da rotação local do fluido. Se \nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0} em toda a região então o escoamento é irrotacional.]
Passo 6
Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional (mostrando cada conta):
Concluir sobre irrotacionalidade e observação final: o escoamento é irrotacional somente se \nabla\times\mathbf{v}\equiv\mathbf{0}. Aqui \nabla\times\mathbf{v}=(-y-2z,5z,-y) não é o vetor zero para todos os (x,y,z) (por exemplo para z\neq0 a componente y é 5z\neq0). Portanto o escoamento NÃO é irrotacional. Observação útil: existem pontos isolados (por exemplo y=0 e z=0 simultaneamente) onde a vorticidade se anula, mas isso não torna o campo globalmente irrotacional.
Resposta
(a) \nabla\cdot\mathbf{v}=0 (taxa de dilatação volumétrica nula ⇒ escoamento incompressível).
(b) \nabla\times\mathbf{v}=(-y-2z,\;5z,\;-y). Não, o escoamento não é irrotacional.