Um foguete de pesquisa tem um comprimento de repouso (comprimento próprio) de \mathrm{L}_{0}=100 \mathrm{~m}. Se este foguete passa pela Terra com uma velocidade constante de v=0.8 c (onde c é a velocidade da luz), qual será o comprimento L do foguete medido por um observador na Terra?

(1.00 ponto)

\bigcirc a) 80 m
\bigcirc b) 100 m
\bigcirc c) 60 m
\bigcirc d) 166,7 \mathrm{~m}
\bigcirc e) NDE
Justificativa: \square

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • comprimento próprio do foguete: L_{0}=100\,\mathrm{m},
    • velocidade do foguete em relação à Terra: v=0,8\,c (onde c é a velocidade da luz).
  • O que é pedido:
    • Determinar o comprimento L do foguete medido por um observador na Terra (isto é, o comprimento no referencial onde o foguete está em movimento).

Passo 2

Entendendo o que é comprimento próprio e o que o observador na Terra mede (explicação conceitual).
  • Comprimento próprio L_{0} é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (aqui, o referencial do foguete).
  • Um observador na Terra mede o comprimento do foguete enquanto ele está se movendo. Para medir o comprimento de um objeto em movimento é preciso registrar as posições das duas extremidades ao mesmo tempo no referencial da Terra (medições simultâneas no referencial da Terra).
  • A teoria da relatividade especial diz que, quando um objeto se move em relação a um observador, o comprimento medido pelo observador em movimento relativo é menor do que o comprimento próprio. Esse efeito chama-se contração de Lorentz (ou contração de comprimentos).

Passo 3

Apresentando a fórmula de contração de comprimentos e explicando cada símbolo (aula curta).
  • A fórmula de contração de comprimentos é
L = L_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.
  • Nesta fórmula:
    • L é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em movimento (aqui: Terra),
    • L_{0} é o comprimento próprio (aqui: 100\,\mathrm{m}),
    • v é a velocidade relativa entre o objeto e o observador (aqui: 0,8\,c),
    • c é a velocidade da luz.
  • Alternativamente, usa-se o fator de Lorentz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},
e então
L=\frac{L_{0}}{\gamma}.
Ambas as formas são equivalentes; eu vou usar a forma com a raiz porque é direta para multiplicar L_{0}.

Passo 4

Calcular o fator dentro da raiz passo a passo (substituindo v=0,8\,c).
  • Primeiro compute \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{(0,8\,c)^{2}}{c^{2}}=0,8^{2}=0,64.
  • Então
1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-0,64=0,36.
  • A raiz quadrada é
\sqrt{0,36}=0,6.

Passo 5

Calcular o comprimento contraído usando a fórmula e mostrar a aritmética clara.
  • Usando
L = L_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}},
substituímos os valores:
L = 100\,\mathrm{m}\times 0,6 = 60\,\mathrm{m}.
  • (Verificação alternativa usando \gamma: \gamma=1/0,6=5/3, então L=100\,\mathrm{m}/(5/3)=100\times 3/5=60\,\mathrm{m}. Mesmo resultado.)

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida (dica para a prova).
  • Resultado: o observador na Terra mede o foguete menor do que o seu comprimento próprio; aqui \,60\,\mathrm{m} é razoável porque com v=0,8\,c a contração é significativa.
  • Dica de prova: sempre pergunte-se “qual referencial mede simultaneidade?” — quem mede simultaneamente no referencial do observador obtém o comprimento nesse referencial; se o objeto está em repouso no seu próprio referencial, esse é o comprimento próprio L_{0}.

Resposta

c) 60\,\mathrm{m}

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