Um foguete de pesquisa tem um comprimento de repouso (comprimento próprio) de
. Se este foguete passa pela Terra com uma velocidade constante de
(onde
é a velocidade da luz), qual será o comprimento
do foguete medido por um observador na Terra?
(1.00 ponto)
a) 80 m
b) 100 m
c) 60 m
d)
e) NDE
Justificativa:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Dados fornecidos:
- comprimento próprio do foguete:
, - velocidade do foguete em relação à Terra:
(onde é a velocidade da luz).
- comprimento próprio do foguete:
-
O que é pedido:
- Determinar o comprimento
do foguete medido por um observador na Terra (isto é, o comprimento no referencial onde o foguete está em movimento).
- Determinar o comprimento
Passo 2
Entendendo o que é comprimento próprio e o que o observador na Terra mede (explicação conceitual).
- Comprimento próprio
é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso (aqui, o referencial do foguete). - Um observador na Terra mede o comprimento do foguete enquanto ele está se movendo. Para medir o comprimento de um objeto em movimento é preciso registrar as posições das duas extremidades ao mesmo tempo no referencial da Terra (medições simultâneas no referencial da Terra).
- A teoria da relatividade especial diz que, quando um objeto se move em relação a um observador, o comprimento medido pelo observador em movimento relativo é menor do que o comprimento próprio. Esse efeito chama-se contração de Lorentz (ou contração de comprimentos).
Passo 3
Apresentando a fórmula de contração de comprimentos e explicando cada símbolo (aula curta).
- A fórmula de contração de comprimentos é
- Nesta fórmula:
-
é o comprimento medido no referencial onde o objeto está em movimento (aqui: Terra), -
é o comprimento próprio (aqui: ), -
é a velocidade relativa entre o objeto e o observador (aqui: ), -
é a velocidade da luz.
-
- Alternativamente, usa-se o fator de Lorentz
e então
Ambas as formas são equivalentes; eu vou usar a forma com a raiz porque é direta para multiplicar
.
Passo 4
Calcular o fator dentro da raiz passo a passo (substituindo
).
- Primeiro compute
:
- Então
- A raiz quadrada é
Passo 5
Calcular o comprimento contraído usando a fórmula e mostrar a aritmética clara.
- Usando
substituímos os valores:
- (Verificação alternativa usando
: , então . Mesmo resultado.)
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida (dica para a prova).
- Resultado: o observador na Terra mede o foguete menor do que o seu comprimento próprio; aqui
é razoável porque com a contração é significativa. - Dica de prova: sempre pergunte-se “qual referencial mede simultaneidade?” — quem mede simultaneamente no referencial do observador obtém o comprimento nesse referencial; se o objeto está em repouso no seu próprio referencial, esse é o comprimento próprio
.
Resposta
c)