Exercício 7. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.
f(x)=-\frac{8}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -\frac{8}{x^{2}-4}
e pede duas coisas:
  • Encontrar as assíntotas verticais, se existirem.
  • Encontrar as assíntotas horizontais, se existirem.
Informações relevantes que temos:
  • O denominador é x^{2}-4.
  • O numerador é a constante -8.
  • Assíntotas verticais normalmente aparecem onde o denominador zera (e o numerador não zera).
  • Assíntotas horizontais estão ligadas ao comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Procurar zeros do denominador para candidatos a assíntotas verticais.
O denominador fatorado é
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
As raízes são x=2 e x=-2. Como o numerador é -8 (não nulo) nesses pontos, x=2 e x=-2 são candidatos a assíntotas verticais. Agora precisamos verificar se f(x) tende a +\infty ou -\infty ao nos aproximarmos desses pontos (ou seja, se os limites laterais são infinitos).

Passo 3

Calcular os limites laterais em x=2 e em x=-2 por análise do sinal do denominador.
Primeiro, observe a fatoração x^{2}-4=(x-2)(x+2). Para x perto de 2:
  • Se x\to 2^{+} então x-2>0 e x+2>0 → produto >0. Assim x^{2}-4>0 e
f(x)=-\frac{8}{x^{2}-4}\to -\infty\quad\text{quando }x\to 2^{+}.
  • Se x\to 2^{-} então x-2<0 e x+2>0 → produto <0. Assim x^{2}-4<0 e
f(x)=-\frac{8}{x^{2}-4}\to +\infty\quad\text{quando }x\to 2^{-}.
Portanto em x=2 os limites laterais são infinitos (com sinais opostos), confirmando assíntota vertical em x=2.
Agora para x perto de -2:
  • Se x\to -2^{-} (à esquerda de -2) então x+2<0 e x-2<0 → produto >0. Assim x^{2}-4>0 e
f(x)=-\frac{8}{x^{2}-4}\to -\infty\quad\text{quando }x\to -2^{-}.
  • Se x\to -2^{+} (à direita de -2) então x+2>0 e x-2<0 → produto <0. Assim x^{2}-4<0 e
f(x)=-\frac{8}{x^{2}-4}\to +\infty\quad\text{quando }x\to -2^{+}.
Portanto em x=-2 também os limites laterais são infinitos (com sinais opostos), confirmando assíntota vertical em x=-2.
Resumo desta etapa: há assíntotas verticais em x=2 e x=-2.

Passo 4

Procurar assíntotas horizontais analisando x\to\pm\infty.
Uma maneira sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{2}:
f(x) = -\frac{8}{x^{2}-4} = -\frac{8/x^{2}}{1-4/x^{2}}.
Quando x\to\infty ou x\to -\infty, temos x^{-2}\to 0. Logo o numerador 8/x^{2}\to 0 e o denominador 1-4/x^{2}\to 1. Portanto
\lim_{x\to\infty} f(x) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0.
Como ambos os limites às infinitas são finitos (iguais a 0), existe uma assíntota horizontal dada por y=0.
Observação didática rápida: isso também pode ser visto por comparação de graus dos polinômios. O grau do numerador (0) é menor que o grau do denominador (2), então a assíntota horizontal é y=0.
Também é útil notar o sinal: para grandes |x| o denominador x^{2}-4>0, então f(x) é negativo e tende a 0 por baixo (ou seja, f(x)\to 0^{-}), mas a assíntota horizontal é simplesmente y=0.

Passo 5

Recapitulando de forma prática para a prova:
  • Zere o denominador e veja se o numerador é não nulo: se sim, são pontos candidatos a assíntota vertical.
  • Verifique os limites laterais (sinal dos fatores) para confirmar que a função “vai para ±∞” nesses pontos.
  • Para assíntota horizontal, compare graus: se grau(numerador) < grau(denominador) então y=0. Se grau igual, é a razão dos coeficientes dominantes. Aqui dividimos por x^{2} e vimos que os limites em ±∞ são 0.
Você já tem as respostas e também a técnica pronta pra usar em outras funções parecidas — tá indo bem, continue assim!

Resposta

Assíntotas verticais: x=-2 e x=2
Assíntota horizontal: y=0

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