Exercício 7. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar as assíntotas verticais, se existirem.
- Encontrar as assíntotas horizontais, se existirem.
Informações relevantes que temos:
- O denominador é
. - O numerador é a constante
. - Assíntotas verticais normalmente aparecem onde o denominador zera (e o numerador não zera).
- Assíntotas horizontais estão ligadas ao comportamento de
quando .
Passo 2
Procurar zeros do denominador para candidatos a assíntotas verticais.
O denominador fatorado é
As raízes são
e
. Como o numerador é
(não nulo) nesses pontos,
e
são candidatos a assíntotas verticais. Agora precisamos verificar se
tende a
ou
ao nos aproximarmos desses pontos (ou seja, se os limites laterais são infinitos).
Passo 3
Calcular os limites laterais em
e em
por análise do sinal do denominador.
Primeiro, observe a fatoração
. Para
perto de
:
- Se
então e → produto . Assim e
- Se
então e → produto . Assim e
Portanto em
os limites laterais são infinitos (com sinais opostos), confirmando assíntota vertical em
.
Agora para
perto de
:
- Se
(à esquerda de ) então e → produto . Assim e
- Se
(à direita de ) então e → produto . Assim e
Portanto em
também os limites laterais são infinitos (com sinais opostos), confirmando assíntota vertical em
.
Resumo desta etapa: há assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Procurar assíntotas horizontais analisando
.
Uma maneira sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador, que é
:
Quando
ou
, temos
. Logo o numerador
e o denominador
. Portanto
Como ambos os limites às infinitas são finitos (iguais a
), existe uma assíntota horizontal dada por
.
Observação didática rápida: isso também pode ser visto por comparação de graus dos polinômios. O grau do numerador (0) é menor que o grau do denominador (2), então a assíntota horizontal é
.
Também é útil notar o sinal: para grandes
o denominador
, então
é negativo e tende a
por baixo (ou seja,
), mas a assíntota horizontal é simplesmente
.
Passo 5
Recapitulando de forma prática para a prova:
- Zere o denominador e veja se o numerador é não nulo: se sim, são pontos candidatos a assíntota vertical.
- Verifique os limites laterais (sinal dos fatores) para confirmar que a função “vai para ±∞” nesses pontos.
- Para assíntota horizontal, compare graus: se grau(numerador) < grau(denominador) então
. Se grau igual, é a razão dos coeficientes dominantes. Aqui dividimos por e vimos que os limites em ±∞ são .
Você já tem as respostas e também a técnica pronta pra usar em outras funções parecidas — tá indo bem, continue assim!
Resposta
Assíntotas verticais:
e
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: