Exercício 7. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.
Passo 1
Vou expor claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos.
- A função dada é
. - O que se pede: encontrar as assíntotas verticais (se existirem) e as assíntotas horizontais (se existirem).
Informações extraídas diretamente da expressão da função que serão úteis:
- O denominador é
. - Zeros do denominador (raízes de
) serão pontos onde a função pode ter assíntotas verticais ou buracos, dependendo se há cancelamento com o numerador.
Passo 2
Entender o critério para assíntotas verticais e buracos (removíveis) — aula rápida e prática:
- Uma assíntota vertical pode ocorrer em
quando o denominador da fração se anula em e o numerador não se anula em . Nesses casos normalmente . - Se tanto numerador quanto denominador se anulam em
com um fator comum que cancela, então há um ponto removível (buraco) em vez de assíntota vertical.
Vamos fatorar o denominador para achar seus zeros. Em bloco:
Portanto os zeros do denominador são
e
.
Agora verificar se há cancelamento com o numerador
. Observação: o numerador não tem fatores lineares com coeficientes inteiros simples; vamos avaliar o numerador nos pontos
e
:
Como o numerador é diferente de zero em
e
, NÃO há cancelamento de fatores. Conclusão intermediária: ambos os zeros do denominador correspondem a singularidades não removíveis, portanto pontos candidatos a assíntotas verticais.
Passo 3
Analisar os sinais para determinar o comportamento das funções perto de cada singularidade (mostrar que os limites laterais vão para
) — técnica que dá segurança na prova.
Primeiro, escrevemos a função destacando os fatores do denominador:
Para estudar o sinal do quociente perto de um zero do denominador, examina-se o sinal do numerador e dos fatores do denominador próximos ao ponto.
- Comportamento perto de
: - O numerador próximo de
é . Em o valor é ; portanto para bem próximo de o numerador é positivo. - Os fatores do denominador são
e . Em torno de o fator é aproximadamente (constante de sinal positivo), enquanto muda de sinal ao atravessar : para ele é negativo (pequeno em magnitude), para é positivo (pequeno). - Então:
-
- Conclusão: em
a função diverge para sinais opostos dos dois lados, caracterizando uma assíntota vertical em .
- O numerador próximo de
Passo 4
- Comportamento perto de
: - O numerador em
vale ; portanto perto de o numerador é negativo. - Os fatores do denominador são
e . Em torno de , o fator é aproximadamente (constante de sinal negativo), enquanto muda de sinal ao atravessar : para ele é negativo (pequeno), para ele é positivo (pequeno). - Então:
-
(Explicação do produto:e para , produto positivo; numerador negativo → quociente negativo grande.) -
(Aquie para , produto negativo; numerador negativo → quociente positivo grande.)
-
- Conclusão: em
também há divergência para nos lados opostos, caracterizando uma assíntota vertical em .
- O numerador em
Passo 5
Agora a assíntota horizontal — regra e aplicação (aula curtinha):
- Regra prática: comparar os graus (grau do polinômio do numerador e do denominador).
- Se o grau do numerador
grau do denominador, então e a assíntota horizontal é . - Se os graus são iguais, a assíntota horizontal é
. - Se o grau do numerador
grau do denominador, não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
- Se o grau do numerador
Aqui ambos os polinômios têm grau
. Os coeficientes líderes são
(em ambos). Portanto a assíntota horizontal deve ser
.
Mostrando o limite para reforçar (técnica de dividir por
):
O mesmo raciocínio vale para
:
Portanto existe uma assíntota horizontal
.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
\nAssíntota horizontal: