Exercício 7. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaixo, caso existam.
f(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-x-2}

Passo 1

Vou expor claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que temos.
  • A função dada é f(x)=\dfrac{x^{2}-2}{x^{2}-x-2}.
  • O que se pede: encontrar as assíntotas verticais (se existirem) e as assíntotas horizontais (se existirem).
Informações extraídas diretamente da expressão da função que serão úteis:
  • O denominador é x^{2}-x-2.
  • Zeros do denominador (raízes de x^{2}-x-2) serão pontos onde a função pode ter assíntotas verticais ou buracos, dependendo se há cancelamento com o numerador.

Passo 2

Entender o critério para assíntotas verticais e buracos (removíveis) — aula rápida e prática:
  • Uma assíntota vertical pode ocorrer em x=a quando o denominador da fração se anula em x=a e o numerador não se anula em x=a. Nesses casos normalmente \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty.
  • Se tanto numerador quanto denominador se anulam em x=a com um fator comum que cancela, então há um ponto removível (buraco) em vez de assíntota vertical.
Vamos fatorar o denominador para achar seus zeros. Em bloco:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto os zeros do denominador são x=2 e x=-1.
Agora verificar se há cancelamento com o numerador (x^{2}-2). Observação: o numerador não tem fatores lineares com coeficientes inteiros simples; vamos avaliar o numerador nos pontos x=2 e x=-1:
\text{para }x=2:\quad x^{2}-2=2^{2}-2=4-2=2\neq0.
\text{para }x=-1:\quad x^{2}-2=(-1)^{2}-2=1-2=-1\neq0.
Como o numerador é diferente de zero em x=2 e x=-1, NÃO há cancelamento de fatores. Conclusão intermediária: ambos os zeros do denominador correspondem a singularidades não removíveis, portanto pontos candidatos a assíntotas verticais.

Passo 3

Analisar os sinais para determinar o comportamento das funções perto de cada singularidade (mostrar que os limites laterais vão para \pm\infty) — técnica que dá segurança na prova.
Primeiro, escrevemos a função destacando os fatores do denominador:
f(x)=\frac{x^{2}-2}{(x-2)(x+1)}.
Para estudar o sinal do quociente perto de um zero do denominador, examina-se o sinal do numerador e dos fatores do denominador próximos ao ponto.
  • Comportamento perto de x=2:
    • O numerador próximo de x=2 é x^{2}-2. Em x=2 o valor é 2>0; portanto para x bem próximo de 2 o numerador é positivo.
    • Os fatores do denominador são (x-2) e (x+1). Em torno de x=2 o fator (x+1) é aproximadamente 3>0 (constante de sinal positivo), enquanto (x-2) muda de sinal ao atravessar 2: para x<2 ele é negativo (pequeno em magnitude), para x>2 é positivo (pequeno).
    • Então:
      • \displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = \frac{(+)}{(-)\cdot(+)} = -\infty.
      • \displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = \frac{(+)}{(+)\cdot(+)} = +\infty.
    • Conclusão: em x=2 a função diverge para sinais opostos dos dois lados, caracterizando uma assíntota vertical em x=2.

Passo 4

  • Comportamento perto de x=-1:
    • O numerador em x=-1 vale -1<0; portanto perto de -1 o numerador é negativo.
    • Os fatores do denominador são (x-2) e (x+1). Em torno de x=-1, o fator (x-2) é aproximadamente -3<0 (constante de sinal negativo), enquanto (x+1) muda de sinal ao atravessar -1: para x<-1 ele é negativo (pequeno), para x>-1 ele é positivo (pequeno).
    • Então:
      • \displaystyle\lim_{x\to (-1)^-} f(x) = \frac{(-)}{(-)\cdot(-)} = \frac{(-)}{(+)} = -\infty.
        (Explicação do produto: (x-2)<0 e (x+1)<0 para x<-1, produto positivo; numerador negativo → quociente negativo grande.)
      • \displaystyle\lim_{x\to (-1)^+} f(x) = \frac{(-)}{(-)\cdot(+)} = +\infty.
        (Aqui (x-2)<0 e (x+1)>0 para x>-1, produto negativo; numerador negativo → quociente positivo grande.)
    • Conclusão: em x=-1 também há divergência para \pm\infty nos lados opostos, caracterizando uma assíntota vertical em x=-1.

Passo 5

Agora a assíntota horizontal — regra e aplicação (aula curtinha):
  • Regra prática: comparar os graus (grau do polinômio do numerador e do denominador).
    • Se o grau do numerador < grau do denominador, então \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0 e a assíntota horizontal é y=0.
    • Se os graus são iguais, a assíntota horizontal é y=\dfrac{\text{coeficiente líder do numerador}}{\text{coeficiente líder do denominador}}íí.
    • Se o grau do numerador > grau do denominador, não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
Aqui ambos os polinômios têm grau 2. Os coeficientes líderes são 1 (em ambos). Portanto a assíntota horizontal deve ser y=\dfrac{1}{1}=1.
Mostrando o limite para reforçar (técnica de dividir por x^{2}):
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-2}{x^{2}-x-2} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\dfrac{2}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}}=1.
O mesmo raciocínio vale para x\to -\infty:
\lim_{x\to -\infty} f(x)=1.
Portanto existe uma assíntota horizontal y=1.

Resposta

Assíntotas verticais: x=2 e x=-1\nAssíntota horizontal: y=1

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