Exercício 7. (F. 3.5, ex.3) Ache os autovalores e autofunções normalizadas para o problema
,
em
? (Dica: Procure soluções da forma sen
)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de autovalores e autofunções
O conteúdo envolve ODEs lineares de segunda ordem e condições de contorno que levam à quantização de
. Vamos:
- Escrever a solução geral da ODE.
- Aplicar
. - Aplicar
. - Encontrar
. - Normalizar as autofunções.
Passo 2
Consideramos primeiro
e escrevemos
com
. A equação
tem solução geral
Passo 3
Usando a condição
obtemos
Logo
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
então
Para
e
temos
, isto é
Logo
Passo 5
Para normalizar
, exigimos
Como
integral0^lsin^2(kn x),dx=l/2 (pois
sin(2kn l)=0 ), segue
Passo 6
Portanto as autofunções normalizadas são