Exercício 7. (F. 3.5, ex.3) Ache os autovalores e autofunções normalizadas para o problema f^prime prime+lambda f=0, f(0)=0, f^prime(l)=0 em [0, l] ? (Dica: Procure soluções da forma sen (A x+B) )

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de autovalores e autofunções
f''(x)+lambda f(x)=0, f(0)=0, f'(l)=0, xin[0,l]
O conteúdo envolve ODEs lineares de segunda ordem e condições de contorno que levam à quantização de lambda. Vamos:
  1. Escrever a solução geral da ODE.
  2. Aplicar f(0)=0.
  3. Aplicar f'(l)=0.
  4. Encontrar lambdan.
  5. Normalizar as autofunções.

Passo 2

Consideramos primeiro lambda>0 e escrevemos lambda=k^2 com k>0. A equação
f''+k^2f=0
tem solução geral
f(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

Passo 3

Usando a condição f(0)=0 obtemos
f(0)=Asin(0)+Bcos(0)=B=0
Logo
f(x)=Asin(kx)

Passo 4

Agora impomos f'(l)=0. Calculamos
f'(x)=A,kcos(kx),
então
f'(l)=A,kcos(k l)=0
Para Aneq0 e k>0 temos cos(k l)=0, isto é
k l=l(n-tfrac12r)pi, n=1,2,3,dots
Logo
kn=(2n-1)pi2l, lambdan=kn^2=l((2n-1)pi2lr)^2

Passo 5

Para normalizar fn(x)=Asin(kn x), exigimos
integral0^ll|fn(x)r|^2dx =|A|^2integral0^lsin^2(kn x),dx =1
Como integral0^lsin^2(kn x),dx=l/2 (pois sin(2kn l)=0), segue
|A|^2l2=1 Longrightarrow A=raiz2l

Passo 6

Portanto as autofunções normalizadas são
fn(x) =raiz2l, sin!l((2n-1)pi2l,xr), n=1,2,3,dots

Resposta

lambdan=l(tfrac(2n-1)pi2lr)^2, fn(x)=raiz2l, sin!l(tfrac(2n-1)pi2l,xr), ;n=1,2,dots

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