Exercício 5. Seja um domínio aberto limitado e com fronteira de classe . A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para funções e de classe , temos
Esta fórmula é conhecida como Segunda Fórmula de Green.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando o Teorema da Divergência, que para um domínio aberto limitado com fronteira de classe e para vale
integralOmegal(v,De<a u - u,De<a vr),dx =integralpartialOmegal(v,partial upartialnu-u,partial vpartialnur),dsigma
O conteúdo principal é aplicar o Teorema da Divergência a campos vetoriais que envolvem u e v, usando a identidade de divergência de um produto (dada no Exercício 2).
Passo 2
Definimos os campos vetoriais
F = v,nabla u, G = u,nabla v
Pelo Exercício 2 (regra de produto para divergência), temos
div(v,nabla u) = nabla vcdotnabla u + v,De<a u,
div(u,nabla v) = nabla ucdotnabla v + u,De<a v
Passo 3
Subtraindo as duas expressões, cancela o termo nabla ucdotnabla v, e obtemos
div(v,nabla u) - div(u,nabla v) = v,De<a u - u,De<a v