Exercício 5. Seja Omega subset R^d um domínio aberto limitado e com fronteira de classe C^1. A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para funções u: Omega longrightarrow R e v: Omega longrightarrow R de classe C^1(barOmega), temos
integralOmega(v(x) De<a u(x)-u(x) De<a v(x)) d x=integralpartial Omega(v(x) partial upartial nu(x)-u(x) partial vpartial nu(x)) d sigma(x)
Esta fórmula é conhecida como Segunda Fórmula de Green.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando o Teorema da Divergência, que para um domínio aberto limitado OmegasubsetR^d com fronteira de classe C^1 e para u,vin C^1(overlineOmega) vale
integralOmegal(v,De<a u - u,De<a vr),dx =integralpartialOmegal(v,partial upartialnu-u,partial vpartialnur),dsigma
O conteúdo principal é aplicar o Teorema da Divergência a campos vetoriais que envolvem u e v, usando a identidade de divergência de um produto (dada no Exercício 2).

Passo 2

Definimos os campos vetoriais
F = v,nabla u, G = u,nabla v
Pelo Exercício 2 (regra de produto para divergência), temos
div(v,nabla u) = nabla vcdotnabla u + v,De<a u,
div(u,nabla v) = nabla ucdotnabla v + u,De<a v

Passo 3

Subtraindo as duas expressões, cancela o termo nabla ucdotnabla v, e obtemos
div(v,nabla u) - div(u,nabla v) = v,De<a u - u,De<a v

Passo 4

Integramos ambos os lados sobre Omega:
integralOmegal(v,De<a u - u,De<a vr),dx = integralOmegal[div(v,nabla u) - div(u,nabla v)r],dx
Pelo Teorema da Divergência, cada termo de divergência vira um fluxo na fronteira:
integralOmegadiv(v,nabla u),dx = integralpartialOmegav,nabla ucdotnu,dsigma,
integralOmegadiv(u,nabla v),dx = integralpartialOmegau,nabla vcdotnu,dsigma

Passo 5

Como nabla ucdotnu=partial upartialnu e nabla vcdotnu=partial vpartialnu, juntando tudo obtemos
integralOmegal(v,De<a u - u,De<a vr),dx = integralpartialOmegal(v,partial upartialnu-u,partial vpartialnur),dsigma,
que é exatamente a Segunda Fórmula de Green.

Resposta

integralOmegal(v,De<a u - u,De<a vr),dx =integralpartialOmegal(v,partial upartialnu-u,partial vpartialnur),dsigma

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