Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}).
\overrightarrow{E H}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (a base \mathcal{B} foi definida no exercício 1).
  • Mostre que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
  • Determine as coordenadas de \overrightarrow{E H} com respeito à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações relevantes fornecidas no enunciado atual:
  • O enunciado refere-se aos pontos H,L,N,E e à base \mathcal{B} do exercício 1.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para obter uma resposta numérica):
  • As coordenadas dos pontos H,L,N,E em alguma base (ex.: base canônica) ou os vetores que definem a base \mathcal{B}.
  • Sem essas coordenadas ou a descrição explícita de \mathcal{B}, não é possível calcular numericamente as coordenadas pedidas.

Passo 2

Como se calcula \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} a partir das coordenadas dos pontos (regra básica — etapa mecânica):
  • Se as coordenadas de H, L e N na base canônica (ou em qualquer mesma base conhecida) são
H=(h_1,h_2),\qquad L=(\ell_1,\ell_2),\qquad N=(n_1,n_2),
então os vetores posição são subtraídos coordenada a coordenada:
\overrightarrow{H L} = L - H = (\ell_1-h_1,\;\ell_2-h_2),
\overrightarrow{H N} = N - H = (n_1-h_1,\;n_2-h_2).
Explicação intuitive: vetor de H a L é a diferença das coordenadas de L e H. Isso vale em qualquer dimensão e em qualquer base, contanto que todas as coordenadas estejam expressas na mesma base.

Passo 3

Como obter as coordenadas desses vetores em relação à base \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2):
  • Suponha que os vetores da base \mathcal{B} tenham coordenadas na base canônica
\mathbf{b}_1=(b_{11},b_{21}),\qquad \mathbf{b}_2=(b_{12},b_{22}).
  • Seja v=\overrightarrow{H L} expresso na base canônica como v=(v_1,v_2). Queremos encontrar escalares x,y tais que
v = x\,\mathbf{b}_1 + y\,\mathbf{b}_2.
  • Isso leva ao sistema linear (matricial)
\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\[2pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1\\[2pt] v_2\end{pmatrix}.
  • Se a matriz da base (chamemos de B) for invertível, então
\begin{pmatrix} x\\[2pt] y \end{pmatrix} = B^{-1} \begin{pmatrix} v_1\\[2pt] v_2\end{pmatrix}.
  • Para uma base 2\times2, a inversa pode ser escrita explicitamente: com \det B = b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21} (supondo \det B\neq0),
B^{-1}=\frac{1}{\det B}\begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12}\\[4pt] -b_{21} & b_{11}\end{pmatrix}.
Logo as coordenadas de v em \mathcal{B} são
\begin{pmatrix} x\\[2pt] y\end{pmatrix} = \frac{1}{\det B}\begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12}\\[4pt] -b_{21} & b_{11}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\[2pt] v_2\end{pmatrix}.
Comentário prático: primeiro calcule v como diferença de pontos (Passo 2), depois resolva este sistema para obter as coordenadas em \mathcal{B}.]

Passo 4

Como testar se \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} são paralelos (criterérios práticos):
  • Em qualquer base (inclusive em \mathcal{B}), dois vetores u=(u_1,u_2) e w=(w_1,w_2) são paralelos se, e só se, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que u=\lambda w.
  • Um teste simples em duas dimensões é calcular o determinante
\det(u,w)=u_1 w_2 - u_2 w_1.
Se \det(u,w)=0 então u e w são paralelos; se \det(u,w)\neq0 então não são paralelos.
  • Observação importante: o valor do determinante é independente da base usada (até sinal, dependendo da orientação); se der zero em uma base dá zero em qualquer base, por isso é um teste confiável.

Passo 5

Como obter as coordenadas de \overrightarrow{E H} na base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}):
  • A base \mathcal{C} só é uma base (ou seja, os dois vetores formam uma base) se \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não forem paralelos, i.e., \det(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N})\neq0.
  • Seja u=\overrightarrow{H L}, w=\overrightarrow{H N} e p=\overrightarrow{E H}, todos escritos em coordenadas da base canônica (ou na mesma base conhecida). Procuramos (s,t) tais que
p = s\,u + t\,w.
  • Em forma matricial:
\begin{pmatrix} u_1 & w_1\\[4pt] u_2 & w_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\[2pt] t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1\\[2pt] p_2\end{pmatrix}.
  • Se \det(UW):=\det(u,w)\neq0, então os coeficientes são dados por Cramer:
s=\frac{\det(p,w)}{\det(u,w)},\qquad t=\frac{\det(u,p)}{\det(u,w)},
ou seja
s=\frac{p_1 w_2 - p_2 w_1}{u_1 w_2 - u_2 w_1},\qquad t=\frac{u_1 p_2 - u_2 p_1}{u_1 w_2 - u_2 w_1}.
  • Essas s e t são exatamente as coordenadas de \overrightarrow{E H} em relação à base \mathcal{C}.]

Passo 6

Resumo passo a passo prático para aplicar na prova (receita de bolo, bem mastigada):
  1. Obtenha as coordenadas de H,L,N,E na mesma base (por exemplo, na base canônica). Se tiverem sido dadas em outra base, converta para a base comum.
  2. Calcule \overrightarrow{H L}=L-H e \overrightarrow{H N}=N-H (subtração coordenada a coordenada).
  3. Para achar coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} em \mathcal{B}: resolva B[x;y]^T=v onde v é o vetor (em canônica) e B é a matriz cujas colunas são os vetores da base \mathcal{B}.
  4. Teste paralelismo: calcule \det(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}). Se for zero são paralelos; se não for zero, não são paralelos.
  5. Se não são paralelos, escreva \overrightarrow{E H}=s\,\overrightarrow{H L}+t\,\overrightarrow{H N} e resolva o sistema 2×2 (ou use as fórmulas de Cramer) para obter s e t. Esses s,t são as coordenadas de \overrightarrow{E H} na base \mathcal{C}.
Dica de prova rápida (sem calculadora): em muitos exercícios os vetores da base \mathcal{B} e as coordenadas dos pontos são inteiros pequenos; resolver o 2×2 com determinantes geralmente dá números inteiros/racionais fáceis de manipular — faz-se tudo no papel com subtrações e multiplicações simples.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (NÃO é a resposta do seu exercício, serve só para ver o método em ação):
  • Suponha \mathcal{B} seja a base canônica, H=(1,2), L=(4,5), N=(3,0), E=(0,1).
  • Então \overrightarrow{H L}=(4-1,5-2)=(3,3), \overrightarrow{H N}=(3-1,0-2)=(2,-2).
  • Determinante \det(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N})=3\cdot(-2)-3\cdot2=-12\neq0 logo não são paralelos.
  • \overrightarrow{E H}=H-E=(1-0,2-1)=(1,1).
  • Resolver \begin{pmatrix}3&2\\[2pt]3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\[2pt]t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
    Pela fórmula: s=\frac{\det((1,1),(2,-2))}{\det((3,3),(2,-2))}=\frac{1\cdot(-2)-1\cdot2}{3\cdot(-2)-3\cdot2}=\frac{-4}{-12}=\tfrac{1}{3},
t=\frac{\det((3,3),(1,1))}{\det((3,3),(2,-2))}=\frac{3\cdot1-3\cdot1}{-12}=0.
Ou seja, na base \mathcal{C} temos \overrightarrow{E H}=\tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{H L}+0\cdot\overrightarrow{H N}, então as coordenadas de \overrightarrow{E H} em \mathcal{C} são \bigl(\tfrac{1}{3},0\bigr).
  • Esse exemplo mostra todas as etapas que você deve executar com os dados do seu exercício real.]

Passo 8

Conclusão direta sobre o exercício que você enviou:
  • Não posso fornecer as coordenadas numéricas de \overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N} nem as coordenadas de \overrightarrow{E H} em \mathcal{C} sem que você me forneça:
    • as coordenadas dos pontos H,L,N,E em alguma base (ou)
    • os vetores que formam a base \mathcal{B} e as coordenadas dos pontos nessa mesma base.
Se quiser, manda as coordenadas de H,L,N,E (ou a figura com as coordenadas) e eu resolvo passo a passo exatamente com os números do seu exercício — prometo ser paciente e detalhista, do jeitinho que você pediu!

Resposta

Não é possível calcular numericamente as coordenadas pedidas porque não foram fornecidas as coordenadas dos pontos H,L,N,E nem os vetores da base \mathcal{B}.

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