Determine as seguentes integrais indefindas
\int x(3 \sqrt{x}+x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular a integral indefinida
\int x(3\sqrt{x}+x)\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integral é indefinida (portanto o resultado terá uma constante de integração C).
  • O integrando é um produto x(3\sqrt{x}+x), que pode ser simplificado antes de integrar.

Passo 2

Converter raízes em potências e simplificar o integrando. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
x(3\sqrt{x}+x)=x\bigl(3x^{1/2}+x\bigr)=3x\cdot x^{1/2}+x\cdot x.
Usando a regra de potências para multiplicação x^a\cdot x^b=x^{a+b}, temos
3x\cdot x^{1/2}=3x^{1+1/2}=3x^{3/2}, \qquad x\cdot x=x^2.
Portanto o integrando simplifica para
3x^{3/2}+x^2.

Passo 3

Lembrar a regra de integração que vamos usar (a “regra do expoente” ou power rule): para n\neq -1,
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
O que isto significa: para integrar uma potência de x, aumenta-se o expoente em uma unidade e divide-se pelo novo expoente. Aqui n representa um número real qualquer diferente de -1; C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicar a regra termo a termo, lembrando que integrais somam e constantes podem ser fatoradas:
\int\bigl(3x^{3/2}+x^2\bigr)\,dx =3\int x^{3/2}\,dx+\int x^2\,dx.
Agora cada termo:
  • Para \int x^{3/2}\,dx, use n=\tfrac{3}{2}:
\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}.
Multiplicando pelo 3 que estava fora:
3\int x^{3/2}\,dx=3\cdot\frac{2}{5}x^{5/2}=\frac{6}{5}x^{5/2}.
  • Para \int x^2\,dx, use n=2:
\int x^2\,dx=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Juntando os resultados e adicionando a constante de integração C:
\int x(3\sqrt{x}+x)\,dx=\frac{6}{5}x^{5/2}+\frac{1}{3}x^{3}+C.
Opcionalmente pode-se reescrever x^{5/2} como x^{2}\sqrt{x}, obtendo
\frac{6}{5}x^{2}\sqrt{x}+\frac{1}{3}x^{3}+C.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a resposta obtida deve voltar o integrando. Derivando \frac{6}{5}x^{5/2} \frac{6}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{3/2}=3x^{3/2}; derivando \frac{1}{3}x^{3} x^{2}. Soma dá 3x^{3/2}+x^{2}, que era o integrando simplificado — correto!

Resposta

\displaystyle \frac{6}{5}x^{5/2}+\frac{1}{3}x^{3}+C

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