Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}). \overrightarrow{L J}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} em relação à base \mathcal{B} (definida no exercício 1).
Mostre que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos e, em seguida, determine as coordenadas de \overrightarrow{L J} em relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações que o problema precisa e que NÃO foram fornecidas aqui:
As coordenadas dos pontos (ou vetores posição) \vec{H},\vec{L},\vec{N},\vec{J} em relação à base \mathcal{B}, ou equivalentemente as coordenadas dos vetores \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} na base \mathcal{B}.
Sem esses dados numéricos não é possível calcular valores numéricos finais. Vou, portanto, explicar passo a passo o procedimento completo, com fórmulas e justificativas, para que você aplique diretamente aos números do exercício 1. Também vou mostrar como testar paralelo e como obter as coordenadas de \overrightarrow{LJ} na base \mathcal{C}.
Passo 2
Como obter as coordenadas de \overrightarrow{H L} em \mathcal{B} (ideia básica e justificativa).
Primeiro, o que significa "coordenadas de um ponto P em relação à base \mathcal{B}"? Se \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) é uma base do plano, então um vetor posição \vec{P} tem coordenadas \vec{P}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}p_1\p_2\end{pmatrix} que significa \vec{P}=p_1\mathbf{b}_1+p_2\mathbf{b}_2.
A razão de usarmos subtração para obter \overrightarrow{H L} é a definição de vetor entre dois pontos: \overrightarrow{H L}=\vec{L}-\vec{H}.
Portanto, se escrevemos\vec{H}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}h_1\\[4pt]h_2\end{pmatrix}, \qquad \vec{L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}l_1\\[4pt]l_2\end{pmatrix},então as coordenadas de \overrightarrow{H L} na base \mathcal{B} são obtidas componente a componente por subtração:\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}= \vec{L}_{\mathcal{B}}-\vec{H}_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix}l_1-h_1\\[4pt]l_2-h_2\end{pmatrix}.
Expliquei o porquê: porque \vec{L}=l_1\mathbf{b}_1+l_2\mathbf{b}_2 e \vec{H}=h_1\mathbf{b}_1+h_2\mathbf{b}_2; subtraindo aparece (l_1-h_1)\mathbf{b}_1+(l_2-h_2)\mathbf{b}_2.]
Passo 3
Mesma ideia para \overrightarrow{H N}.
Se \vec{N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}n_1\\[4pt]n_2\end{pmatrix}, então\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}= \vec{N}_{\mathcal{B}}-\vec{H}_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix}n_1-h_1\\[4pt]n_2-h_2\end{pmatrix}.]
Passo 4
Como mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos (teste algébrico e interpretação geométrica).
Em coordenadas na base \mathcal{B}, escreva\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\end{pmatrix},onde x_1=l_1-h_1,\;y_1=l_2-h_2,\;x_2=n_1-h_1,\;y_2=n_2-h_2.
Dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro, isto é, existe \lambda tal que\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\end{pmatrix}.
Uma forma prática e muito usada para testar isso é calcular o determinante 2×2 (ou “produto cruzado 2D”):\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big) =x_1y_2-x_2y_1.Se esse determinante for igual a zero, os vetores são paralelos; se for diferente de zero, os vetores não são paralelos (significa que formam um paralelogramo de área diferente de zero).
Portanto, para “mostrar que não são paralelos” você deve calcular x_1y_2-x_2y_1 com os números do exercício 1 e verificar que é diferente de zero. Sem os números não dá para concluir numericamente.]
Passo 5
Como expressar \overrightarrow{L J}\) na base \(\mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N})\) — método geral (matricial / regra de Cramer).
- Primeiro calcule em \(\mathcal{B}\) as coordenadas de \(\overrightarrow{L J}\):
\[\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}=\vec{J}_{\mathcal{B}}-\vec{L}_{\mathcal{B}}.
Queremos encontrar escalares \alpha,\beta tais que\overrightarrow{L J}=\alpha\,\overrightarrow{H L}+\beta\,\overrightarrow{H N}.Em coordenadas na base \mathcal{B} isso vira o sistema linear de 2 equações:\begin{pmatrix}\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}} & \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} =\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}.Escrevendo componentes, se \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\end{pmatrix}, \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\end{pmatrix} e \overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}, então\begin{cases} x_1\alpha + x_2\beta = u,\\[4pt] y_1\alpha + y_2\beta = v. \end{cases}
Como \mathcal{C}\] é base (isto é, assumindo que \(\overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos), o determinante D=\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)=x_1y_2-x_2y_1 é diferente de zero e o sistema tem solução única. Usando regra de Cramer obtemos:\alpha=\frac{\det\!\big(\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)}{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)} \qquad\text{e}\qquad \beta=\frac{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}\big)}{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)}.Em componentes:\alpha=\frac{u y_2 - x_2 v}{x_1 y_2 - x_2 y_1}, \qquad \beta=\frac{x_1 v - u y_1}{x_1 y_2 - x_2 y_1}.
Assim as coordenadas de \overrightarrow{L J} na base \mathcal{C} são\overrightarrow{L J}_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix},com \alpha,\beta dados pelas fórmulas acima. Note que tudo aqui é em termos das coordenadas em \mathcal{B}; basta substituir os números do exercício 1.]
Passo 6
Exemplo muito rápido (ilustrativo) — aplique o mesmo procedimento com os números do seu exercício:
Suponha, apenas como exemplo, que em \mathcal{B} apareça\vec{H}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},\;
\vec{L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\;
\vec{N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\;
\vec{J}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Então \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\;
\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\;
\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}=\vec{J}-\vec{L}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Determinante D=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5\neq0, logo não são paralelos.
São paralelos se, e somente se, \displaystyle \det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)
=(l_1-h_1)(n_2-h_2)-(n_1-h_1)(l_2-h_2)=0.
Se esse determinante for diferente de zero, então não são paralelos (e \mathcal{C} é base).
\displaystyle \overrightarrow{L J}_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}
\displaystyle \dfrac{\det\!\big(\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)}
{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)}\\[10pt]
\displaystyle \dfrac{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}\big)}
{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)}
\end{pmatrix},
onde \overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}=\vec{J}_{\mathcal{B}}-\vec{L}_{\mathcal{B}} e as componentes de \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}} são dadas acima.]