Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}).
\overrightarrow{L J}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} em relação à base \mathcal{B} (definida no exercício 1).
  2. Mostre que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos e, em seguida, determine as coordenadas de \overrightarrow{L J} em relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações que o problema precisa e que NÃO foram fornecidas aqui:
  • As coordenadas dos pontos (ou vetores posição) \vec{H},\vec{L},\vec{N},\vec{J} em relação à base \mathcal{B}, ou equivalentemente as coordenadas dos vetores \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} na base \mathcal{B}.
    Sem esses dados numéricos não é possível calcular valores numéricos finais. Vou, portanto, explicar passo a passo o procedimento completo, com fórmulas e justificativas, para que você aplique diretamente aos números do exercício 1. Também vou mostrar como testar paralelo e como obter as coordenadas de \overrightarrow{LJ} na base \mathcal{C}.

Passo 2

Como obter as coordenadas de \overrightarrow{H L} em \mathcal{B} (ideia básica e justificativa).
  • Primeiro, o que significa "coordenadas de um ponto P em relação à base \mathcal{B}"? Se \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) é uma base do plano, então um vetor posição \vec{P} tem coordenadas \vec{P}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}p_1\p_2\end{pmatrix} que significa \vec{P}=p_1\mathbf{b}_1+p_2\mathbf{b}_2.
  • A razão de usarmos subtração para obter \overrightarrow{H L} é a definição de vetor entre dois pontos: \overrightarrow{H L}=\vec{L}-\vec{H}.
  • Portanto, se escrevemos \vec{H}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}h_1\\[4pt]h_2\end{pmatrix}, \qquad \vec{L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}l_1\\[4pt]l_2\end{pmatrix},então as coordenadas de \overrightarrow{H L} na base \mathcal{B} são obtidas componente a componente por subtração: \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}= \vec{L}_{\mathcal{B}}-\vec{H}_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix}l_1-h_1\\[4pt]l_2-h_2\end{pmatrix}.
Expliquei o porquê: porque \vec{L}=l_1\mathbf{b}_1+l_2\mathbf{b}_2 e \vec{H}=h_1\mathbf{b}_1+h_2\mathbf{b}_2; subtraindo aparece (l_1-h_1)\mathbf{b}_1+(l_2-h_2)\mathbf{b}_2.]

Passo 3

Mesma ideia para \overrightarrow{H N}.
  • Se \vec{N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}n_1\\[4pt]n_2\end{pmatrix}, então \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}= \vec{N}_{\mathcal{B}}-\vec{H}_{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix}n_1-h_1\\[4pt]n_2-h_2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos (teste algébrico e interpretação geométrica).
  • Em coordenadas na base \mathcal{B}, escreva \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\end{pmatrix},onde x_1=l_1-h_1,\;y_1=l_2-h_2,\;x_2=n_1-h_1,\;y_2=n_2-h_2.
  • Dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro, isto é, existe \lambda tal que \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\end{pmatrix}.
  • Uma forma prática e muito usada para testar isso é calcular o determinante 2×2 (ou “produto cruzado 2D”): \det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big) =x_1y_2-x_2y_1.Se esse determinante for igual a zero, os vetores são paralelos; se for diferente de zero, os vetores não são paralelos (significa que formam um paralelogramo de área diferente de zero).
  • Portanto, para “mostrar que não são paralelos” você deve calcular x_1y_2-x_2y_1 com os números do exercício 1 e verificar que é diferente de zero. Sem os números não dá para concluir numericamente.]

Passo 5

Como expressar \overrightarrow{L J}\) na base \(\mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N})\) — método geral (matricial / regra de Cramer). - Primeiro calcule em \(\mathcal{B}\) as coordenadas de \(\overrightarrow{L J}\): \[\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}=\vec{J}_{\mathcal{B}}-\vec{L}_{\mathcal{B}}.
  • Queremos encontrar escalares \alpha,\beta tais que \overrightarrow{L J}=\alpha\,\overrightarrow{H L}+\beta\,\overrightarrow{H N}.Em coordenadas na base \mathcal{B} isso vira o sistema linear de 2 equações: \begin{pmatrix}\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}} & \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} =\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}.Escrevendo componentes, se \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\end{pmatrix}, \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\end{pmatrix} e \overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}, então \begin{cases} x_1\alpha + x_2\beta = u,\\[4pt] y_1\alpha + y_2\beta = v. \end{cases}
  • Como \mathcal{C}\] é base (isto é, assumindo que \(\overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos), o determinante D=\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)=x_1y_2-x_2y_1 é diferente de zero e o sistema tem solução única. Usando regra de Cramer obtemos: \alpha=\frac{\det\!\big(\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)}{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)} \qquad\text{e}\qquad \beta=\frac{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}\big)}{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)}.Em componentes: \alpha=\frac{u y_2 - x_2 v}{x_1 y_2 - x_2 y_1}, \qquad \beta=\frac{x_1 v - u y_1}{x_1 y_2 - x_2 y_1}.
  • Assim as coordenadas de \overrightarrow{L J} na base \mathcal{C} são \overrightarrow{L J}_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix},com \alpha,\beta dados pelas fórmulas acima. Note que tudo aqui é em termos das coordenadas em \mathcal{B}; basta substituir os números do exercício 1.]

Passo 6

Exemplo muito rápido (ilustrativo) — aplique o mesmo procedimento com os números do seu exercício:
  • Suponha, apenas como exemplo, que em \mathcal{B} apareça \vec{H}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},\; \vec{L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\; \vec{N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\; \vec{J}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  • Então \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\; \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\; \overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}=\vec{J}-\vec{L}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Determinante D=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5\neq0, logo não são paralelos.
  • \alpha=\dfrac{\det(\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}},\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}})}{D} =\dfrac{2\cdot3-1\cdot1}{5}=\dfrac{5}{5}=1.
    \beta=\dfrac{\det(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}})}{D} =\dfrac{2\cdot1-2\cdot1}{5}=0.
  • Logo neste exemplo \overrightarrow{L J}_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} (isto é, \overrightarrow{LJ}=\overrightarrow{HL}).]

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}l_1-h_1\\[4pt]l_2-h_2\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}n_1-h_1\\[4pt]n_2-h_2\end{pmatrix}.
São paralelos se, e somente se,
\displaystyle \det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big) =(l_1-h_1)(n_2-h_2)-(n_1-h_1)(l_2-h_2)=0.
Se esse determinante for diferente de zero, então não são paralelos (e \mathcal{C} é base).
\displaystyle \overrightarrow{L J}_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix} \displaystyle \dfrac{\det\!\big(\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)} {\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)}\\[10pt] \displaystyle \dfrac{\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}\big)} {\det\!\big(\overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\,\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}}\big)} \end{pmatrix},
onde \overrightarrow{L J}_{\mathcal{B}}=\vec{J}_{\mathcal{B}}-\vec{L}_{\mathcal{B}} e as componentes de \overrightarrow{H L}_{\mathcal{B}},\overrightarrow{H N}_{\mathcal{B}} são dadas acima.]

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