Exercício 7. Ache a equação da circunferência:
Passando pelos pontos (2,1) e (5,-2), tendo raio 15 .

Passo 1

O enunciado pede a(s) circunferência(s) de raio 15 que passam pelos pontos (2,1) e (5,-2). O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos usar a definição de circunferência com centro (a,b) e raio r, isto é,
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,
e impor que ambos os pontos estão a distancia r=15 do centro.

Passo 2

Seja (a,b) o centro da circunferência. Como (2,1) pertence à circunferência, devemos ter
(2 - a)^2 + (1 - b)^2 = 15^2 = 225

Passo 3

De modo análogo, como (5,-2) também está na circunferência, impomos
(5 - a)^2 + (-2 - b)^2 = 225

Passo 4

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar os termos a^2 + b^2. Das duas equações:
(2-a)^2 + (1-b)^2 = 225, (5-a)^2 + (-2-b)^2 = 225,
subtraindo membro a membro obtemos
(2-a)^2 - (5-a)^2 + (1-b)^2 - (-2-b)^2 = 0

Passo 5

Expandindo e simplificando a subtração nos leva a uma relação linear entre a e b. O cálculo dá
-6a + 6b + 24 = 0 Longrightarrow b = a - 4

Passo 6

Substituímos b = a - 4 em uma das equações originais, por exemplo em
(2 - a)^2 + (1 - b)^2 = 225,
ficando
(2 - a)^2 + [,1 - (a - 4),]^2 = 225 Longrightarrow (a - 2)^2 + (a - 5)^2 = 225
Isso gera a equação quadrática
2a^2 - 14a + 29 = 225 Longrightarrow a^2 - 7a - 98 = 0,
cuja solução é
a = 7 pm 212 ;Longrightarrow; a = 14 ou a = -7

Passo 7

Para cada valor de a encontramos b = a - 4:
  • Se a = 14, então b = 14 - 4 = 10.
  • Se a = -7, então b = -7 - 4 = -11.
Assim, há duas circunferências possíveis de raio 15:
(x - 14)^2 + (y - 10)^2 = 225 e (x + 7)^2 + (y + 11)^2 = 225

Resposta

A equação das circunferências é
(x - 14)^2 + (y - 10)^2 = 225 ou (x + 7)^2 + (y + 11)^2 = 225

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