Exercício 7. Ache a equação da circunferência:
Tendo o segmento A B como diâmetro, onde A=(3,-1) e B=(-2,-4).

Passo 1

O enunciado dá os extremos do diâmetro de uma circunferência: A=(3,-1) e B=(-2,-4). Para achar a equação da circunferência, precisamos determinar primeiro o centro (ponto médio de AB) e o raio (metade da distância AB), e então usar a forma central da equação de uma circunferência.

Passo 2

Calculamos o centro C=(h,k) como ponto médio de A e B:
h = xA + xB2 = 3 + (-2)2 = 12,
k = yA + yB2 = -1 + (-4)2 = -52

Passo 3

Calculamos a distância AB:
AB = raiz(xA - xB)^2 + (yA - yB)^2 = raiz(3 - (-2))^2 + l(-1 - (-4)r)^2 = raiz5^2 + 3^2 = raiz34
O raio é metade dessa distância, logo
r = AB2 = raiz342,
e portanto
r^2 = 344 = 172

Passo 4

Usando a forma central da circunferência,
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,
substituímos h=tfrac12, k=-tfrac52 e r^2=tfrac172, obtendo
l(x - tfrac12r)^2 + l(y + tfrac52r)^2 = 172

Passo 5

Opcionalmente, podemos expandir para a forma geral. Desenvolvendo e reunindo termos, chega-se a
x^2 + y^2 - x + 5y - 2 = 0

Resposta

l(x - tfrac12r)^2 + l(y + tfrac52r)^2 = 172

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