Exercício 5. Considere os pontos e onde e são o primeiro e o segundo dígito não-nulos do seu CPF, respectivamente, e e são os dígitos da dezena da unidade, respectivamente, da sua idade (por exemplo, se meu cpf é 093448984-24 e minha idade é 18 então e ). Se estes dois pontos não forem distintos, troque o por .
a) Determine a reta .
b) Seja um ponto que não pertence a reta . Determine a reta que passa por e é paralela a . Denote por esta nova reta.
c) Seja um ponto de diferente de . Verifique que existe numero real tal que .
d) Sejam e pontos distintos, ambos não-pertencentes a . Mostre que se existe número real tal que então é paralela a over<=ftrightarrowA B.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos genéricos
A=(a,b), B=(d,u),
com Aneq B (caso contrário redefinimos B=(raiz2,1)). Pede-se:
a) a reta over<=ftrightarrowAB;
b) a reta por P=(x0,y0)notinover<=ftrightarrowAB paralela a over<=ftrightarrowAB;
c) para Q=(x1,y1) nessa nova reta, mostrar que existe kneq0 tal que
B - A = k,(Q - P);
d) logo, se para P', Q'notinover<=ftrightarrowAB tivermos Q'-P'=k,(B-A), com kneq0, provar que over<=ftrightarrowP'Q'paral<=lover<=ftrightarrowAB.
O conteúdo é geometria analítica: equações de reta, vetor diretor e paralelismo.
Passo 2
Para a reta over<=ftrightarrowAB tomamos o vetor diretor
v = B - A = (d-a,;u-b)
A equação paramétrica é
(x,y) = (a,b) + t,(d-a,;u-b), tinR,
e a equação cartesiana (forma implícita) obtém-se exigindo que (x,y)-(a,b) seja colinear a v:
over<=ftrightarrowAB:; (x,y)=(a,b)+t,(d-a,u-b),;tin R ou (u-b)(x-a)-(d-a)(y-b)=0
b)
r:;(x,y)=(x0,y0)+t,(d-a,u-b),;tin R ou (u-b)(x-x0)-(d-a)(y-y0)=0
c) Para Qin r, Q-P=t(d-a,u-b) com tneq0, logo B-A=tfrac1t(Q-P), isto é, existe k=1/tneq0.
d) Se Q'-P'=k(B-A) com kneq0, então o vetor diretor de over<=ftrightarrowP'Q' é colinear a B-A, logo as retas são paralelas.