Exercício 5. Considere os pontos A=(a, b) e B=(d, u) onde a e b são o primeiro e o segundo dígito não-nulos do seu CPF, respectivamente, e d e u são os dígitos da dezena da unidade, respectivamente, da sua idade (por exemplo, se meu cpf é 093448984-24 e minha idade é 18 então A=(9,3) e B=(1,8) ). Se estes dois pontos não forem distintos, troque o B por (raiz2, 1).
a) Determine a reta over<=ftrightarrowA B.
b) Seja P=(x0, y0) um ponto que não pertence a reta over<=ftrightarrowA B. Determine a reta que passa por P e é paralela a over<=ftrightarrowA B. Denote por r esta nova reta.
c) Seja Q=(x1, y1) um ponto de r diferente de P=(x0, y0). Verifique que existe numero real k neq 0 tal que B-A=k(Q-P).
d) Sejam P^prime e Q^prime pontos distintos, ambos não-pertencentes a over<=ftrightarrowA B. Mostre que se existe número real k neq 0 tal que Q^prime-P^prime=k(B-A) então over<=ftrightarrowP^prime Q^prime é paralela a over<=ftrightarrowA B.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos genéricos
A=(a,b), B=(d,u),
com Aneq B (caso contrário redefinimos B=(raiz2,1)). Pede-se:
a) a reta over<=ftrightarrowAB;
b) a reta por P=(x0,y0)notinover<=ftrightarrowAB paralela a over<=ftrightarrowAB;
c) para Q=(x1,y1) nessa nova reta, mostrar que existe kneq0 tal que
B - A = k,(Q - P);
d) logo, se para P', Q'notinover<=ftrightarrowAB tivermos Q'-P'=k,(B-A), com kneq0, provar que over<=ftrightarrowP'Q'paral<=lover<=ftrightarrowAB.
O conteúdo é geometria analítica: equações de reta, vetor diretor e paralelismo.

Passo 2

Para a reta over<=ftrightarrowAB tomamos o vetor diretor
v = B - A = (d-a,;u-b)
A equação paramétrica é
(x,y) = (a,b) + t,(d-a,;u-b), tinR,
e a equação cartesiana (forma implícita) obtém-se exigindo que (x,y)-(a,b) seja colinear a v:
detl[(x-a,y-b),,(d-a,u-b)r]=0 Longrightarrow (u-b),(x-a)-(d-a),(y-b)=0

Passo 3

Uma reta r que passe por P=(x0,y0) e seja paralela a over<=ftrightarrowAB tem o mesmo vetor diretor v. Assim
(x,y) = (x0,y0) + t,(d-a,;u-b), tinR,
ou, em forma implícita,
(u-b),(x-x0)-(d-a),(y-y0)=0

Passo 4

Se Q=(x1,y1) pertence a r e Qneq P, então existe tneq0 tal que
Q - P = t,(d-a,;u-b)
Logo
B - A = (d-a,;u-b) = 1t,(Q - P)
Basta tomar k=1/tneq0, obtendo B - A = k,(Q - P).

Passo 5

Sejam P' e Q' quaisquer tais que
Q' - P' = k,(B - A), kneq0
Então o vetor diretor de over<=ftrightarrowP'Q' é Q'-P'=k,(B-A), que é colinear a B-A, vetor diretor de over<=ftrightarrowAB. Portanto
over<=ftrightarrowP'Q'paral<=lover<=ftrightarrowAB

Resposta

a)
over<=ftrightarrowAB:; (x,y)=(a,b)+t,(d-a,u-b),;tin R ou (u-b)(x-a)-(d-a)(y-b)=0
b)
r:;(x,y)=(x0,y0)+t,(d-a,u-b),;tin R ou (u-b)(x-x0)-(d-a)(y-y0)=0
c) Para Qin r, Q-P=t(d-a,u-b) com tneq0, logo B-A=tfrac1t(Q-P), isto é, existe k=1/tneq0.
d) Se Q'-P'=k(B-A) com kneq0, então o vetor diretor de over<=ftrightarrowP'Q' é colinear a B-A, logo as retas são paralelas.

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