Exercício 7. Ache a equação da circunferência:
Passando pelos pontos (5,1),(4,2) e (-2,-6).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação da circunferência que passa pelos pontos (5,1), (4,2) e (-2,-6). O conteúdo aqui é geometria analítica de círculos: vamos usar a forma geral da equação de uma circunferência e impor que cada ponto satisfaça essa equação.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da circunferência e substituímos as coordenadas dos três pontos para obter um sistema em D, E e F:
x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0
Para (5,1):
25 + 1 + 5D + 1E + F = 0 Longrightarrow 5D + E + F = -26
Para (4,2):
16 + 4 + 4D + 2E + F = 0 Longrightarrow 4D + 2E + F = -20
Para (-2,-6):
4 + 36 -2D -6E + F = 0 Longrightarrow -2D -6E + F = -40

Passo 3

Eliminamos F subtraindo as equações:
(4D+2E+F)-(5D+E+F)=-20-(-26) Longrightarrow -D + E = 6,
(-2D-6E+F)-(4D+2E+F)=-40-(-20) Longrightarrow -6D -8E = -20 Longrightarrow 3D + 4E = 10

Passo 4

Resolvemos o sistema em
Substituindo em (3D + 4E = 10]:
Agora, em :

Passo 5

Substituindo D=-2, E=4 e F=-20 na forma geral:
x^2 + y^2 -2x +4y -20 = 0
Podemos também reescrever em forma central:
(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25

Resposta

A equação da circunferência é
x^2 + y^2 -2x +4y -20 = 0
ou, em forma padrão,
(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25

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