Verifique (Justificando) se r é perpendicular a pi no caso:
r: X=(3,1,4)+lambda(1,-1,1) ; pi: X=(1,1,1)+lambda(0,1,0)+mu(1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá a reta r que passa por A=(3,1,4) com vetor direção vec v=(1,-1,1) e o plano pi que passa por B=(1,1,1) e é gerado pelos vetores vec u=(0,1,0) e vec w=(1,1,1). Queremos verificar se r é perpendicular a pi, isto é, se vec v é paralelo ao vetor normal de pi e se r intersecta pi.

Passo 2

Calculamos o vetor normal vec n de pi como produto vetorial de vec u e vec w:
vec n ;=;vec utimesvec w ;=; det i & j & k 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 ;=;(1,0,-1)

Passo 3

Para que r fosse perpendicular a pi, precisaríamos de vec vparal<=lvec n, ou seja, vec v=alpha,vec n para algum escalar alpha. Mas
vec v=(1,-1,1) não é múltiplo de vec n=(1,0,-1).
Alternativamente, o produto vetorial
vec vtimesvec nneqvec0
mostra que não há paralelismo. Logo vec v não é paralelo a vec n.

Passo 4

Mesmo sem esse teste, poderíamos resolver o sistema de interseção entre as equações paramétricas de r e pi e ver que não há solução:
parametrizando pi por s,t obtemos
X=(1,1,1)+s(0,1,0)+t(1,1,1)=(1+t,;1+s+t,;1+t),
enquanto em r
X=(3+lambda,;1-lambda,;4+lambda)
As igualdades 1+t=3+lambda e 1+t=4+lambda levariam a 3+lambda=4+lambda, ou seja 3=4, absurdo. Assim, r não intersecta pi.

Resposta

A reta r não é perpendicular ao plano pi.

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