Exercício 3.2.4 Ache uma equação da reta tangente à curva y=x^3-3 x que é paralela à reta 2 x+18 y-9=0.

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas tangentes à curva
y = x^3 - 3x
que sejam paralelas à reta
2x + 18y - 9 = 0
O conteúdo que vamos usar envolve derivada para achar o coeficiente angular da tangente e resolução de equações.

Passo 2

Encontramos o coeficiente angular m da reta dada isolando y:
18y = -2x + 9 Longrightarrow y = -218,x + 918 =; -19,x + 12
Logo
m = -19

Passo 3

A derivada da função dá o coeficiente angular da tangente em cada ponto:
y' = ddxl(x^3-3xr) =3x^2-3
Para ser paralela à reta dada, igualamos
3x^2-3 = -19

Passo 4

Resolvendo
3x^2-3 = -19 Longrightarrow 3x^2 = 3 - 19 = 269 Longrightarrow x^2 = 2627 Longrightarrow x = pm raiz2627

Passo 5

Calculamos y = x^3-3x em x1 = raiz2627 e x2 = -raiz2627:
Para x1:
y1 = l(raiztfrac2627r)^3 -3raiztfrac2627 = raiztfrac2627l(tfrac2627-3r) = -5527,raiz2627
Para x2:
y2 = l(-raiztfrac2627r)^3 -3l(-raiztfrac2627r) = 5527,raiz2627

Passo 6

A equação da reta tangente em l(x0,y0r) com coeficiente angular -tfrac19 é
y - y0 = -19l(x - x0r)
Para cada ponto:
  1. Em l(raiztfrac2627,,-tfrac5527raiztfrac2627r):
y + 5527raiz2627 = -19l(x - raiztfrac2627r)
  1. Em l(-raiztfrac2627,,tfrac5527raiztfrac2627r):
y - 5527raiz2627 = -19l(x + raiztfrac2627r)

Resposta

As duas retas procuradas são
y + 5527raiz2627 = -19l(x - raiztfrac2627r) e y - 5527raiz2627 = -19l(x + raiztfrac2627r)

Exercícios relacionados