Exercício 4: Ache a equação da tangente à parábola y=x^{2} no ponto (-2,4). (Resp.: y+4 x+4=0 )

Passo 1

O enunciado pede: "Ache a equação da tangente à parábola y=x^{2} no ponto (-2,4)".\n
Informações dadas:
\,y=x^{2} (a parábola) \n
o ponto de tangência é \,(-2,4).\n
Pergunta: qual é a equação da reta tangente à curva no ponto indicado?

Passo 2

Ideia central (explicação didática): a reta tangente a uma curva num ponto tem inclinação igual à taxa de variação instantânea da função nesse ponto — isto é, a derivada da função naquele ponto. Vou explicar o que é derivada e a fórmula que vamos usar.\n
Definição (intuitiva e prática): a derivada de uma função f em um ponto x mede o coeficiente angular da reta tangente em x. Formalmente usamos o quociente de diferenças e o limite:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui: f'(x) é a derivada de f em x, h é um incremento pequeno de x. Esse quociente dá a inclinação média entre x e x+h; ao fazer h\to0 obtemos a inclinação instantânea.\n
Fórmula da reta a partir da inclinação conhecida: se a reta passa por (x_{0},y_{0}) e tem coeficiente angular m, sua equação no formato ponto-inclinação é
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui m é a inclinação (coeficiente angular), x_{0} e y_{0} são as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x)=x^{2} usando a definição (passo a passo, sem pular etapas). Substituímos na definição:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.
Agora expandimos o numerador:
(x+h)^{2}-x^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}.
Então o quociente fica
\frac{2xh+h^{2}}{h}=\frac{h(2x+h)}{h}=2x+h.
Agora fazemos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Portanto a derivada é \,f'(x)=2x. Isso significa que, para qualquer abscissa x, a inclinação da reta tangente em x é 2x.

Passo 4

Calculamos a inclinação da tangente no ponto dado. Como o ponto tem abscissa \,x_{0}=-2, substituímos:
m=f'(-2)=2\cdot(-2)=-4.
Logo a reta tangente tem coeficiente angular \,m=-4. Respire fundo — já temos a inclinação!

Passo 5

Agora usamos a fórmula da reta no formato ponto-inclinação. O ponto é (x_{0},y_{0})=(-2,4) e m=-4. Substituindo em
y-y_{0}=m(x-x_{0})
temos
y-4=-4\bigl(x-(-2)\bigr)=-4(x+2).
Desenvolvendo o lado direito:
y-4=-4x-8.
Passamos tudo para um lado para obter uma forma linear padrão:
y+4x+4=0.
Pronto — essa é a equação da reta tangente escrita em forma explícita reorganizada.

Passo 6

Cheque rápido (sanity check): plugando x=-2 em \,y+4x+4=0 obtemos y+4(-2)+4=0\Rightarrow y-8+4=0\Rightarrow y-4=0\Rightarrow y=4, que coincide com o ponto dado. A inclinação da reta é -4, que é a derivada que calculamos. Tudo bate.

Resposta

y+4x+4=0

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