Exercício 4: Ache a equação da tangente à parábola
no ponto
. (Resp.:
)
Passo 1
O enunciado pede: "Ache a equação da tangente à parábola
no ponto
".\n
Informações dadas:
(a parábola) \n
o ponto de tangência é .\n
Pergunta: qual é a equação da reta tangente à curva no ponto indicado?
Informações dadas:
o ponto de tangência é
Pergunta: qual é a equação da reta tangente à curva no ponto indicado?
Passo 2
Ideia central (explicação didática): a reta tangente a uma curva num ponto tem inclinação igual à taxa de variação instantânea da função nesse ponto — isto é, a derivada da função naquele ponto. Vou explicar o que é derivada e a fórmula que vamos usar.\n
Definição (intuitiva e prática): a derivada de uma função em um ponto
mede o coeficiente angular da reta tangente em
. Formalmente usamos o quociente de diferenças e o limite:
Definição (intuitiva e prática): a derivada de uma função
Aqui:
é a derivada de
em
,
é um incremento pequeno de
. Esse quociente dá a inclinação média entre
e
; ao fazer
obtemos a inclinação instantânea.\n
Fórmula da reta a partir da inclinação conhecida: se a reta passa por e tem coeficiente angular
, sua equação no formato ponto-inclinação é
Fórmula da reta a partir da inclinação conhecida: se a reta passa por
Aqui
é a inclinação (coeficiente angular),
e
são as coordenadas do ponto de tangência.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
usando a definição (passo a passo, sem pular etapas). Substituímos na definição:
Agora expandimos o numerador:
Então o quociente fica
Agora fazemos o limite quando
:
Portanto a derivada é
. Isso significa que, para qualquer abscissa
, a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 4
Calculamos a inclinação da tangente no ponto dado. Como o ponto tem abscissa
, substituímos:
Logo a reta tangente tem coeficiente angular
. Respire fundo — já temos a inclinação!
Passo 5
Agora usamos a fórmula da reta no formato ponto-inclinação. O ponto é
e
. Substituindo em
temos
Desenvolvendo o lado direito:
Passamos tudo para um lado para obter uma forma linear padrão:
Pronto — essa é a equação da reta tangente escrita em forma explícita reorganizada.
Passo 6
Cheque rápido (sanity check): plugando
em
obtemos
, que coincide com o ponto dado. A inclinação da reta é
, que é a derivada que calculamos. Tudo bate.