Exercício 7: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
Ou seja, precisamos encontrar
, a taxa de variação de
em relação a
. As informações relevantes são exatamente a expressão acima: uma soma de uma exponencial com base
e um termo linear
.
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro: a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos,
Aplicando isso a
temos
Essa regra é básica e facilita: desvinculamos a derivada em duas partes mais simples.
Passo 3
Derivada do termo linear
. Regra: a derivada de uma função linear
é o coeficiente
. Em símbolos,
Explicação curta: a função
tem sempre a mesma inclinação
, então a taxa de variação é constante
. Aplicando com
,
Passo 4
Derivada da exponencial de base
, isto é,
. Aqui é preciso um pequeno truque: qualquer exponencial com base positiva
pode ser escrita usando a exponencial natural
:
onde
é o logaritmo natural de
. No nosso caso
, então
Agora usamos a regra da cadeia e a derivada da exponencial natural: se
é uma função, então
Aqui
. Calculamos
: como
é constante,
Portanto, aplicando a regra da cadeia,
Voltando para a base
(porque
), obtemos a fórmula clássica
Resumo da ideia: a derivada de
é
; isso vem de escrever
como
e usar cadeia.
Passo 5
Agora somamos os resultados das duas derivadas (pela linearidade do Passo 2):
Pronto — essa é a expressão final para a derivada. Dica prática para a prova: sempre que tiver
com
constante, lembre-se de transformar em
mentalmente e aplicar a regra da cadeia; para termos lineares a derivada é só o coeficiente.