Exercício 7: Calcule as derivadas.
h(x)=11^{x}+4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função h dada por
h(x)=11^{x}+4 x.
Ou seja, precisamos encontrar h'(x), a taxa de variação de h em relação a x. As informações relevantes são exatamente a expressão acima: uma soma de uma exponencial com base 11 e um termo linear 4x.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
Aplicando isso a h(x) temos
h'(x)=\frac{d}{dx}\big(11^{x}\big)+\frac{d}{dx}\big(4x\big).
Essa regra é básica e facilita: desvinculamos a derivada em duas partes mais simples.

Passo 3

Derivada do termo linear 4x. Regra: a derivada de uma função linear a x é o coeficiente a. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\big(a x\big)=a.
Explicação curta: a função a x tem sempre a mesma inclinação a, então a taxa de variação é constante a. Aplicando com a=4,
\frac{d}{dx}\big(4x\big)=4.

Passo 4

Derivada da exponencial de base 11, isto é, \frac{d}{dx}\big(11^{x}\big). Aqui é preciso um pequeno truque: qualquer exponencial com base positiva a pode ser escrita usando a exponencial natural e:
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. No nosso caso a=11, então
11^{x}=e^{x\ln 11}.
Agora usamos a regra da cadeia e a derivada da exponencial natural: se u(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=x\ln 11. Calculamos u'(x): como \ln 11 é constante,
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\ln 11\big)=\ln 11.
Portanto, aplicando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(11^{x}\big)=\frac{d}{dx}\big(e^{x\ln 11}\big)=e^{x\ln 11}\cdot \ln 11.
Voltando para a base 11 (porque e^{x\ln 11}=11^{x}), obtemos a fórmula clássica
\frac{d}{dx}\big(11^{x}\big)=11^{x}\ln 11.
Resumo da ideia: a derivada de a^{x} é a^{x}\ln a; isso vem de escrever a^{x} como e^{x\ln a} e usar cadeia.

Passo 5

Agora somamos os resultados das duas derivadas (pela linearidade do Passo 2):
h'(x)=\frac{d}{dx}\big(11^{x}\big)+\frac{d}{dx}\big(4x\big)=11^{x}\ln 11 + 4.
Pronto — essa é a expressão final para a derivada. Dica prática para a prova: sempre que tiver a^{x} com a constante, lembre-se de transformar em e^{x\ln a} mentalmente e aplicar a regra da cadeia; para termos lineares a derivada é só o coeficiente.

Resposta

h'(x)=11^{x}\ln 11 + 4

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