Exercício 7: Calcule as derivadas.
h(x)=\ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função h dada por
h(x)=\ln(x).
Informações relevantes que temos: a função é o logaritmo natural e o domínio natural desta função é x>0. A pergunta explícita é: encontrar h'(x), a derivada de h em termos de x.

Passo 2

Lembrando o que significa derivada: a derivada de uma função f num ponto x é a taxa instantânea de variação de f em relação a x. Pela definição de diferencial,
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe. Podemos usar essa definição diretamente ou usar propriedades de funções conhecidas (como funções inversas). Vou usar a abordagem por função inversa porque ela é curta, elegante e muito usada em provas.

Passo 3

Propriedade útil (derivada da função inversa): se f é diferenciável e tem inversa f^{-1}, então, chamando g=f^{-1}, vale a identidade (obtida pela regra da cadeia aplicada em f(g(x))=x):
f'(g(x))\cdot g'(x)=1.
Logo,
g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}.
Intuição: ao compor uma função com sua inversa você volta para x; derivando essa igualdade e isolando g'(x) obtemos a fórmula acima. Não é necessário usar limites aqui — é consequência direta da regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: a função h(x)=\ln(x) é a inversa da exponencial f(t)=e^{t}. Então tome g(x)=\ln(x) e f(t)=e^{t}. Sabemos que
f'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
Pela fórmula da derivada da inversa,
g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}=\frac{1}{e^{\,g(x)}}.
Como g(x)=\ln(x), temos e^{g(x)}=e^{\ln(x)}=x. Portanto
g'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Conclusão formal: a derivada de h(x)=\ln(x) é
h'(x)=\frac{1}{x}.
Lembre-se de que esta fórmula só faz sentido no domínio da função logaritmo, ou seja, para x>0.

Passo 6

Verificação alternativa (pela definição da derivada, por curiosidade): usando a diferença de logaritmos,
h'(x)=\lim_{u\to 0}\frac{\ln(x+u)-\ln(x)}{u} =\lim_{u\to 0}\frac{\ln\!\big(1+\dfrac{u}{x}\big)}{u}.
Fazendo a mudança v=\dfrac{u}{x} (então v\to 0 quando u\to 0) obtemos
h'(x)=\lim_{v\to 0}\frac{\ln(1+v)}{x\,v}=\frac{1}{x}\lim_{v\to 0}\frac{\ln(1+v)}{v}.
Usando a desigualdade clássica \dfrac{v}{1+v}\le \ln(1+v)\le v para v>-1, ao dividir por v e tomar limite v\to 0 obtemos \lim_{v\to 0}\dfrac{\ln(1+v)}{v}=1. Assim h'(x)=\dfrac{1}{x}, confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para te dar confiança: para x=2,
h'(2)=\frac{1}{2}.
Ou seja, perto de x=2 a inclinação da curva y=\ln(x) é 0{,}5.

Resposta

h'(x)=\dfrac{1}{x},\; x>0

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