Exercício 7: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
Informações relevantes que temos: a função é o logaritmo natural e o domínio natural desta função é
. A pergunta explícita é: encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Lembrando o que significa derivada: a derivada de uma função
num ponto
é a taxa instantânea de variação de
em relação a
. Pela definição de diferencial,
quando esse limite existe. Podemos usar essa definição diretamente ou usar propriedades de funções conhecidas (como funções inversas). Vou usar a abordagem por função inversa porque ela é curta, elegante e muito usada em provas.
Passo 3
Propriedade útil (derivada da função inversa): se
é diferenciável e tem inversa
, então, chamando
, vale a identidade (obtida pela regra da cadeia aplicada em
):
Logo,
Intuição: ao compor uma função com sua inversa você volta para
; derivando essa igualdade e isolando
obtemos a fórmula acima. Não é necessário usar limites aqui — é consequência direta da regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: a função
é a inversa da exponencial
. Então tome
e
. Sabemos que
Pela fórmula da derivada da inversa,
Como
, temos
. Portanto
Passo 5
Conclusão formal: a derivada de
é
Lembre-se de que esta fórmula só faz sentido no domínio da função logaritmo, ou seja, para
.
Passo 6
Verificação alternativa (pela definição da derivada, por curiosidade): usando a diferença de logaritmos,
Fazendo a mudança
(então
quando
) obtemos
Usando a desigualdade clássica
para
, ao dividir por
e tomar limite
obtemos
. Assim
, confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para te dar confiança: para
,
Ou seja, perto de
a inclinação da curva
é
.