Exercício 7: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que calculemos as derivadas.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é a soma de duas partes: a parte trigonométrica
e a parte polinomial . - Vamos calcular, no mínimo, a derivada primeira
. Como o enunciado está no plural (“derivadas”), vou também calcular a derivada segunda .
Passo 2
O que é derivada (rápido refresco)?
A derivada de uma função num ponto mede a taxa de variação instantânea da função nesse ponto. A definição por limite é:
A derivada de uma função num ponto mede a taxa de variação instantânea da função nesse ponto. A definição por limite é:
Isso significa: pegamos o quociente de incremento médio
e vemos o que acontece quando
fica muito pequeno. Se esse limite existir, é a derivada.
Passo 3
Propriedade útil: linearidade da derivada.
Se e
são funções deriváveis, então a derivada da soma é a soma das derivadas:
Se
Aqui isso permite tratar
e
separadamente e somar os resultados.
Passo 4
Derivada da parte polinomial
(regra do poder).
Regra do poder: para qualquer número inteiro positivo ,
Regra do poder: para qualquer número inteiro positivo
Demonstração rápida para
usando a definição por limite (ou usando a expansão binomial):
Tomando o limite
obtemos
. Logo
Passo 5
Derivada da parte trigonométrica
.
Resultado clássico (que convém memorizar): a derivada de é
. Vou mostrar um cálculo direto a partir da definição usando identidades trigonométricas:
Resultado clássico (que convém memorizar): a derivada de
Então
Conhecemos os limites fundamentais
e
. Assim o resultado é
. Portanto
Passo 6
Agora aplicamos linearidade e somamos as derivadas parciais obtidas. Usando os resultados dos passos anteriores:
Passo 7
Derivada segunda
: derivamos
novamente, termo a termo.
- A derivada de
é (resultado padrão, obtido de maneira análoga ao caso da ). - A derivada de
pela regra do poder é .
Somando: