Exercício 7: Calcule as derivadas.
f(x)=\operatorname{sen}(x)+x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen}(x)+x^{3} e pede que calculemos as derivadas.
Informações relevantes:
  • A função é a soma de duas partes: a parte trigonométrica \operatorname{sen}(x) e a parte polinomial x^{3}.
  • Vamos calcular, no mínimo, a derivada primeira f'(x). Como o enunciado está no plural (“derivadas”), vou também calcular a derivada segunda f''(x).

Passo 2

O que é derivada (rápido refresco)?
A derivada de uma função num ponto mede a taxa de variação instantânea da função nesse ponto. A definição por limite é:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Isso significa: pegamos o quociente de incremento médio \frac{f(x+h)-f(x)}{h} e vemos o que acontece quando h fica muito pequeno. Se esse limite existir, é a derivada.

Passo 3

Propriedade útil: linearidade da derivada.
Se g e h são funções deriváveis, então a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
Aqui isso permite tratar \operatorname{sen}(x) e x^{3} separadamente e somar os resultados.

Passo 4

Derivada da parte polinomial x^{3} (regra do poder).
Regra do poder: para qualquer número inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Demonstração rápida para n=3 usando a definição por limite (ou usando a expansão binomial):
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}.
Tomando o limite h\to0 obtemos 3x^{2}. Logo
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 5

Derivada da parte trigonométrica \operatorname{sen}(x).
Resultado clássico (que convém memorizar): a derivada de \sin x é \cos x. Vou mostrar um cálculo direto a partir da definição usando identidades trigonométricas:
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\frac{\operatorname{sen}x(\cos h-1)+\cos x\operatorname{sen}h}{h}.
Então
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\operatorname{sen}x\cdot\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}.
Conhecemos os limites fundamentais \lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1 e \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0. Assim o resultado é \cos x. Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).

Passo 6

Agora aplicamos linearidade e somamos as derivadas parciais obtidas. Usando os resultados dos passos anteriores:
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)+\frac{d}{dx}x^{3}=\cos(x)+3x^{2}.

Passo 7

Derivada segunda f''(x): derivamos f'(x) novamente, termo a termo.
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x) (resultado padrão, obtido de maneira análoga ao caso da \sin).
  • A derivada de 3x^{2} pela regra do poder é 3\cdot 2x=6x.
    Somando:
f''(x)=-\sin(x)+6x.

Resposta

f'(x)=\cos(x)+3x^{2}
f''(x)=-\sin(x)+6x

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