Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 9 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[6pt] 9 & 3\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é “inversão de matriz 2\times2”. Vamos usar a definição via determinante e a fórmula padrão para matrizes 2\times2.]

Passo 2

Relembrando a fórmula: para
A = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
se \det(A)=ad - bc \neq 0, então
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.]

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, identificamos a=3, b=0, c=9 e d=3. Calculamos o determinante:
\det(A) = 3\cdot 3 \;-\; 0\cdot 9 \;=\; 9.
Como \det(A)=9\neq0, a matriz é invertível.

Passo 4

Substituímos na fórmula:
A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 3 & -0 \\[4pt] -9 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\[4pt] -9 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Basta simplificar cada entrada:
\frac{3}{9} = \frac{1}{3}, \quad \frac{-9}{9} = -1.
Logo
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\[6pt] -1 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\[6pt] -1 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.]

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