Calcular a corrente
no circuito
abaixo
, que é conectada a uma fonte de voltagem
Calcule a solução transiente e a solução em estado estacionário deste sistema.
Calcule a solução transiente e a solução em estado estacionário deste sistema.
Passo 1
O circuito é série RLC com R=2 Ω, L=1 H, C=0{,}05 F e fonte E(t)=
sin 3t V. Vamos achar a corrente I(t) separando parte transitória (solução homogênea) e parte em regime permanente (solução particular).
Passo 2
Aplicamos a Lei de Kirchhoff de tensões e escrevemos a equação diferencial em i(t). Para isso notamos que a soma das quedas de tensão em R, L e C deve igualar E(t):
Diferenciando ambos os lados:
Passo 3
Substituindo os valores L=1, R=2, 1/C=20 e E(t)=
sin 3t, temos
A equação homogênea associada é
cuja raízes são
Passo 4
Logo a solução homogênea (transitória) é
onde C_1 e C_2 serão fixados pelas condições iniciais.
Passo 5
Para a solução particular (regime permanente) usamos o método dos coeficientes indeterminados e supomos
Calculamos derivadas e punimos na ED:
Agrupando termos em cos3t e sin3t igualamos coeficientes.
Passo 6
O sistema para A e B é
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira obtém-se
e
. Portanto
Passo 7
No regime permanente podemos também escrever em forma fasorial (amplitude-fase):
Logo
Resposta
A parte transitória (solução homogênea) é
i_{tr}(t)=e^{-t}\bigl(C_{1}\cos(\sqrt{19},t)+C_{2}\sin(\sqrt{19},t)\bigr)
e a parte em estado estacionário (solução particular) é
i_{ss}(t)=\frac{11}{3}\cos3t+2\sin3t
\quad(ou)\quad i_{ss}(t)=\frac{\sqrt{157}}{3}\sin\bigl(3t+\arctan\tfrac{11}{6}\bigr).
i_{tr}(t)=e^{-t}\bigl(C_{1}\cos(\sqrt{19},t)+C_{2}\sin(\sqrt{19},t)\bigr)
e a parte em estado estacionário (solução particular) é
i_{ss}(t)=\frac{11}{3}\cos3t+2\sin3t
\quad(ou)\quad i_{ss}(t)=\frac{\sqrt{157}}{3}\sin\bigl(3t+\arctan\tfrac{11}{6}\bigr).