Calcular a corrente I(t) no circuito RLC abaixo com R=2 Omega, L=1 H, C=0,05 F, que é conectada a uma fonte de voltagem E=1579 sen 3 t V
Calcule a solução transiente e a solução em estado estacionário deste sistema.

Passo 1

O circuito é série RLC com R=2 Ω, L=1 H, C=0{,}05 F e fonte E(t)= tfrac1579 sin 3t V. Vamos achar a corrente I(t) separando parte transitória (solução homogênea) e parte em regime permanente (solução particular).

Passo 2

Aplicamos a Lei de Kirchhoff de tensões e escrevemos a equação diferencial em i(t). Para isso notamos que a soma das quedas de tensão em R, L e C deve igualar E(t):
Ld idt+R,i+1Cintegral i,dt=E(t)
Diferenciando ambos os lados:
Ld^2idt^2+Rdidt+1Ci=dEdt

Passo 3

Substituindo os valores L=1, R=2, 1/C=20 e E(t)= tfrac1579 sin 3t, temos
d^2idt^2+2didt+20,i=ddtl(tfrac1579sin3tr)=tfrac1573cos3t
A equação homogênea associada é
s^2+2s+20=0,
cuja raízes são
s1,2=-1pm jraiz19

Passo 4

Logo a solução homogênea (transitória) é
itr(t)=e^-tl(C1cos(raiz19,t)+C2sin(raiz19,t)r),
onde C_1 e C_2 serão fixados pelas condições iniciais.

Passo 5

Para a solução particular (regime permanente) usamos o método dos coeficientes indeterminados e supomos
ip(t)=Acos3t+Bsin3t
Calculamos derivadas e punimos na ED:
-9Acos3t-9Bsin3t+2(-3Asin3t+3Bcos3t)+20(Acos3t+Bsin3t)=tfrac1573cos3t
Agrupando termos em cos3t e sin3t igualamos coeficientes.

Passo 6

O sistema para A e B é
11A+6B=tfrac1573, -6A+11B=0
Da segunda equação vem B=tfrac611A. Substituindo na primeira obtém-se A=tfrac113 e B=2. Portanto
ip(t)=113cos3t+2sin3t

Passo 7

No regime permanente podemos também escrever em forma fasorial (amplitude-fase):
I0=raizl(tfrac113r)^2+2^2=raiz1573, varphi=arctanl(tfrac11/32r)=arctantfrac116
Logo
ip(t)=raiz1573sinl(3t+arctantfrac116r)

Resposta

A parte transitória (solução homogênea) é
i_{tr}(t)=e^{-t}\bigl(C_{1}\cos(\sqrt{19},t)+C_{2}\sin(\sqrt{19},t)\bigr)
e a parte em estado estacionário (solução particular) é
i_{ss}(t)=\frac{11}{3}\cos3t+2\sin3t
\quad(ou)\quad i_{ss}(t)=\frac{\sqrt{157}}{3}\sin\bigl(3t+\arctan\tfrac{11}{6}\bigr).

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