Exercício R.2.2.3. A água de um lago localizado em uma região montanhosa apresenta uma profundidade máxima de 40 m . Se a pressão barométrica local é 598 mmHg , determine a pressão absoluta na região mais profunda \left(\gamma_{\mathrm{Hg}}=133 \mathrm{KN} / \mathrm{m}^{3}\right).
P_{\text {fundo }}=P_{o}+\gamma_{\mathrm{H} 2 \mathrm{O}} . h_{\text {lago }} \quad onde, \quad P_{o}=\gamma_{H g} . h_{H g} \quad é a pressão na superfície do lago
P_{\text {fundo }}=\gamma_{H g} . h_{H g}+\gamma_{H 2 O} . h_{\text {lago }}=133\left(K N / m^{2}\right) \times 0,598(m)+9,8\left(K N / m^{2}\right) \times 40(m)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Profundidade máxima do lago: h_{\text{lago}}=40\\ \text{m}.
  • Pressão barométrica local dada como uma coluna de mercúrio de 598\\ \text{mmHg}.
  • Peso específico do mercúrio: \gamma_{\mathrm{Hg}}=133\\ \text{kN}/\text{m}^3.
  • O que pedir: a pressão absoluta na região mais profunda do lago, P_{\text{fundo}}.

Passo 2

Fórmulas e definições que vamos usar (explicação didática):
  • A pressão absoluta no fundo do lago é a soma da pressão atmosférica sobre a superfície do lago e da pressão hidrostática devido à coluna de água:
P_{\text{fundo}}=P_{o}+\gamma_{\text{H}_2\text{O}}\;h_{\text{lago}}.
Aqui:
  • P_{\text{fundo}} é a pressão absoluta no fundo (unidade: \text{kN}/\text{m}^2 ou \text{kPa}),
  • P_{o} é a pressão atmosférica na superfície do lago,
  • \gamma_{\text{H}_2\text{O}} é o peso específico da água (força por volume, em \text{kN}/\text{m}^3),
  • h_{\text{lago}} é a profundidade da água (em \text{m}).
  • A pressão atmosférica fornecida em mmHg pode ser obtida como a pressão exercida por uma coluna de mercúrio:
P_{o}=\gamma_{\mathrm{Hg}}\;h_{\mathrm{Hg}}.
  • Converter 598\\ \text{mmHg} para metros: h_{\mathrm{Hg}}=598\\ \text{mm}=0{,}598\\ \text{m}.
  • Para a água usaremos o peso específico aproximado \gamma_{\text{H}_2\text{O}}=9{,}8\\ \text{kN}/\text{m}^3 (equivalente a \rho g com \rho\approx1000\\ \text{kg/m}^3 e g\approx9{,}8\\ \text{m/s}^2).

Passo 3

Cálculo da pressão atmosférica P_{o} a partir da coluna de mercúrio (mostrando cada conta):
P_{o}=\gamma_{\mathrm{Hg}}\;h_{\mathrm{Hg}}=133\\ \left(\text{kN}/\text{m}^3\right)\times0{,}598\\ \text{m}.
Fazendo a multiplicação:
133\times0{,}598=79{,}534.
Portanto
P_{o}=79{,}534\\ \text{kN}/\text{m}^2.
Lembrete de unidade: 1\\ \text{kN}/\text{m}^2=1\\ \text{kPa}, então P_{o}=79{,}534\\ \text{kPa}. Em pascal isso equivale a 79{,}534\times10^{3}\\ \text{Pa}=79\,534\\ \text{Pa}.

Passo 4

Cálculo da pressão hidrostática devido à coluna de água:
\Delta P_{\text{água}}=\gamma_{\text{H}_2\text{O}}\;h_{\text{lago}}=9{,}8\\ \left(\text{kN}/\text{m}^3\right)\times40\\ \text{m}.á
Multiplicando:
9{,}8\times40=392.
Logo
\Delta P_{\text{água}}=392\\ \text{kN}/\text{m}^2=392\\ \text{kPa}=392\,000\\ \text{Pa}.á

Passo 5

Soma das pressões para obter a pressão absoluta no fundo:
P_{\text{fundo}}=P_{o}+\Delta P_{\text{água}}=79{,}534\\ \text{kPa}+392\\ \text{kPa}=471{,}534\\ \text{kPa}.á
Em unidades mais usuais:
P_{\text{fundo}}=471{,}534\\ \text{kPa}=471\,534\\ \text{Pa}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final:
  • Com os dados dados (três algarismos razoáveis), uma apresentação com três algarismos significativos é adequada:
P_{\text{fundo}}\approx472\\ \text{kPa}.
  • Essa é a pressão absoluta no ponto mais profundo do lago (inclui pressão atmosférica).

Resposta

P_{\text{fundo}}=472\\ \text{kPa}

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