Exercício R.1.4.2. Um dissipador de calor consiste de uma placa plana de alumínio ( \mathrm{k}=175 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) de resistência térmica desprezível com aletas retangulares de 1,5 \mathrm{~mm} de espessura e 12 mm de altura, espaçadas entre si de 12 mm , ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está em contato com ar a 40{ }^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de película 25 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. O lado sem aletas está fixado sobre uma superfície a 150{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule por unidade de área da placa o fluxo de calor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos fornece e o que ele pede (peguei os valores geométricos da figura fornecida):
  • Dados do material e do meio:
    • Condutividade térmica do alumínio: k=175\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}.
    • Temperatura do ar: T_\infty=40{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de película (convecção): h=25\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot ^\circ C)}.
    • Temperatura da superfície do lado sem aletas (base): T_b=150{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Geometria das aletas (peguei estes valores da figura):
    • Espessura da aleta: e=1,5\\ \mathrm{mm}=\(0,0015\ \mathrm{m}).
    • Altura da aleta (comprimento da aleta, perpendicular à placa): L=12\\ \mathrm{mm}=\(0,012\ \mathrm{m}).
    • Espaçamento livre entre aletas (gap): s=12\\ \mathrm{mm}=\(0,012\ \mathrm{m}).
    • As aletas ocupam toda a largura da placa (array periódico).
  • O que se pede:
    • Calcular, por unidade de área da placa (isto é, por 1\\ \mathrm{m^2} de área de base projetada), o fluxo de calor total que sai pelo lado com as aletas (contribuição das aletas + da área exposta entre elas), dado que a base está a 150{ }^\circ\mathrm{C} e o ar está a 40{ }^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).
  • Vamos modelar as aletas como aletas retangulares finitas, de seção constante, fixas à temperatura da base T_b (a placa tem resistência térmica desprezível, logo a temperatura na raiz das aletas é T_b).
  • Para cada aleta calculamos o calor transferido por uma aleta (convecção nas duas faces e na ponta). Em seguida multiplicamos pelo número de aletas por unidade de largura da placa para obter a contribuição total das aletas por unidade de área projetada.
  • Também calculamos a convecção que ocorre na área exposta da base entre as aletas (a área do “gap” onde não há aleta).
  • Somamos as duas contribuições para obter o fluxo de calor por unidade de área da placa.
  • Motivação física dos passos: a condução dentro da aleta é equilibrada com a convecção nas superfícies; isso leva à equação de difusão unidimensional cuja solução dá a taxa de calor por aleta em função de um parâmetro m que depende de h, k e da geometria da seção da aleta.

Passo 3

Converter e calcular quantidades geométricas e a densidade de aletas por unidade de largura.
  • Espessura da aleta: t=e=\(0,0015\ \mathrm{m}.)
  • Comprimento (altura) da aleta: L=\(0,012\ \mathrm{m}.)
  • Espaçamento livre entre aletas: s=\(0,012\ \mathrm{m}.)
  • Passo (pitch) entre centros de aletas (largura ocupada por uma aleta + gap): p = t + s = \(0,0015\) + \(0,012\) = \(0,0135\)\ \mathrm{m}.
  • Número de aletas por metro de largura da placa: N = \frac{1}{p} = \frac{1}{\(0,0135\)} \approx \(74,074\)\ \text{aletas por m}.
  • Fração da área da base que é exposta (sem aleta) por pitch: \frac{s}{p}=\frac{\(0,012\)}{\(0,0135\)} \approx \(0,8889\).
Isto significa que, por 1\\ \mathrm{m^2} de área projetada, a área da base exposta à convecção é \(0,8889\ \mathrm{m^2}).

Passo 4

Modelo matemático da aleta e definição das quantidades físicas (explicação didática).
  • Considere uma aleta retangular de espessura t e largura (no sentido perpendicular ao plano da figura) igual a 1\\ \mathrm{m} (vamos trabalhar por unidade de comprimento na direção de profundidade). A área de seção transversal que conduz calor é A_c = t\cdot 1 = t.
  • O perímetro molhado (onde ocorre convecção) por unidade de comprimento é P = 2\cdot 1 = 2 (as duas faces da aleta).
  • Para uma aleta com convecção sobre o perímetro P e condução na área A_c, define-se o parâmetro m como m = \sqrt{\frac{h P}{k A_c}}.Explicação: m tem unidades de 1/\mathrm{m} e mede a razão entre a capacidade de convecção superficial (proporcional a hP) e a capacidade de condução interna (proporcional a kA_c). Quanto maior m, mais “curta” a distância efetiva de dissipação pela aleta (a temperatura decai mais rápido ao longo da aleta).
  • No caso específico das nossas aletas retangulares com P=2 e A_c=t, isto dá m = \sqrt{\frac{2h}{k t}}.
  • A solução clássica (ver livros de transferência de calor) para a taxa de calor por aleta com ponta com convecção é q_f = (T_b - T_\infty)\,\sqrt{h P k A_c}\\ \cdot\\ \frac{\operatorname{sinh}(mL) + \dfrac{h}{m k}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL) + \dfrac{h}{m k}\operatorname{sinh}(mL)}.Explicação dos termos:
    • (T_b-T_\infty) é o salto térmico disponível.
    • \sqrt{h P k A_c} combina as propriedades convectivas e condutivas que caracterizam a transferência ligada à aleta.
    • A fração com hiperbólicas vem da solução da ODE de condução unidimensional com condição de convecção na ponta (não é necessário decorá-la, mas é a solução exata para a aleta com convecção na ponta).
  • Em situações onde a ponta é praticamente isolada, a fórmula simplifica substituindo a fração acima por \operatorname{tanh}(mL). Aqui, por segurança, usaremos a fórmula com a correção do termo \dfrac{h}{m k} (que poderá ser pequeno).

Passo 5

Cálculo do parâmetro m e de termos auxiliares (numérico).
  • Calcular m: m = \sqrt{\frac{2h}{k t}} = \sqrt{\frac{2\cdot \(25\)}{\(175\)\cdot \(0,0015\)}}.Vamos calcular em partes: k t = \(175\)\cdot \(0,0015\)=\(0,2625\).
2h = 2\cdot \(25\)=\(50\).
\frac{2h}{k t}=\frac{\(50\)}{\(0,2625\)}\approx \(190,4762\).
m \approx \sqrt{\(190,4762\)} \approx \(13,7947\)\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Calcular mL: mL = \(13,7947\)\cdot \(0,012\) \approx \(0,1655\)\ (\text{adimensional}).
  • Calcular o termo \dfrac{h}{m k}: \frac{h}{m k}=\frac{\(25\)}{\(13,7947\)\cdot \(175\)}\approx \(0,01035\).Observação: este termo é pequeno, o que significa que a correção por convecção na ponta será pequena, mas vamos incluí-la para maior precisão.

Passo 6

Calcular a expressão \sqrt{hPkA_c} que aparece na fórmula da aleta.
  • Lembrando P=2 e A_c=t, temos \sqrt{h P k A_c}=\sqrt{2 h k t}.Numericamente: 2 h k t = 2\cdot \(25\)\cdot \(175\)\cdot \(0,0015\) = \(13,125\).
\sqrt{2 h k t} = \sqrt{\(13,125\)} \approx \(3,6240\).

Passo 7

Calcular o calor por aleta q_f (por aleta e por 1\\ \mathrm{m} de profundidade).
  • Primeiramente calcule as funções hiperbólicas (para mL\approx0,1655): \operatorname{sinh}(mL)\approx \(0,1663\),\qquad \operatorname{cosh}(mL)\approx \(1,0138\).
  • Calcular a fração de correção (ponta convectiva): \frac{\operatorname{sinh}(mL) + \dfrac{h}{m k}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL) + \dfrac{h}{m k}\operatorname{sinh}(mL)} \approx \frac{\(0,1663\) + \(0,01035\)\cdot \(1,0138\)}{\(1,0138\) + \(0,01035\)\cdot \(0,1663\)} \approx \frac{\(0,1768\)}{\(1,0155\)} \approx \(0,17414\).
  • Agora a potência por aleta: q_f = (T_b-T_\infty)\,\sqrt{2 h k t}\\ \times\\ \text{fator acima}.Substituindo T_b-T_\infty = \(150-40= 110\ ^\circ\mathrm{C}): q_f \approx \(110\)\cdot \(3,6240\)\cdot \(0,17414\) \approx \(69,48\)\ \mathrm{kcal/h\ per\ aleta\ per\ m\ depth}.Interpretação: cada aleta, por cada metro de profundidade (no sentido em que as aletas se estendem na largura), remove cerca de 69,48\\ \mathrm{kcal/h} quando a base da aleta está a 150{ }^\circ\mathrm{C} e o ar a 40{ }^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Calcular a contribuição total das aletas por unidade de área da placa.
  • Número de aletas por metro de largura: N \approx \(74,074).
  • Portanto a contribuição das aletas por 1\\ \mathrm{m^2} (ou seja, por 1\\ \mathrm{m} de largura vezes 1\\ \mathrm{m} de comprimento projetado) é q''_{\text{aletas}} = q_f \cdot N \approx \(69,48\)\cdot \(74,074\) \approx \(5.148,6\)\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)}.

Passo 9

Calcular a contribuição da área de base exposta (entre as aletas).
  • A área de base exposta por 1\\ \mathrm{m^2} de planform é a fração \dfrac{s}{p} vezes 1\\ \mathrm{m^2}. Já calculamos \dfrac{s}{p}\approx \(0,8889).
  • A convecção nessa área dá (pela lei de Newton): q''_{\text{base}} = h\cdot \left(\frac{s}{p}\right)\cdot (T_b-T_\infty) = \(25\)\cdot \(0,8889\)\cdot \(110\) \approx \(2.444,4\)\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)}.

Passo 10

Somar as contribuições e obter o fluxo de calor total por unidade de área da placa.
  • Soma: q''_{\text{total}} = q''_{\text{aletas}} + q''_{\text{base}} \approx \(5.148,6\) + \(2.444,4\) = \(7.593,0\)\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)}.
  • Arredondando com 3 algarismos significativos: q''_{\text{total}} \approx \(7{,}59\times 10^{3}\)\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)}.

Resposta

7{,}593\times10^{3}\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^{2})}

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