Exercício R.1.4.2. Um dissipador de calor consiste de uma placa plana de alumínio (
) de resistência térmica desprezível com aletas retangulares de
de espessura e 12 mm de altura, espaçadas entre si de 12 mm , ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está em contato com ar a
e coeficiente de película
. O lado sem aletas está fixado sobre uma superfície a
. Calcule por unidade de área da placa o fluxo de calor.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos fornece e o que ele pede (peguei os valores geométricos da figura fornecida):
- Dados do material e do meio:
- Condutividade térmica do alumínio:
. - Temperatura do ar:
. - Coeficiente de película (convecção):
. - Temperatura da superfície do lado sem aletas (base):
.
- Condutividade térmica do alumínio:
- Geometria das aletas (peguei estes valores da figura):
- Espessura da aleta: \ \mathrm{m}).
- Altura da aleta (comprimento da aleta, perpendicular à placa): \ \mathrm{m}).
- Espaçamento livre entre aletas (gap): \ \mathrm{m}).
- As aletas ocupam toda a largura da placa (array periódico).
- O que se pede:
- Calcular, por unidade de área da placa (isto é, por
de área de base projetada), o fluxo de calor total que sai pelo lado com as aletas (contribuição das aletas + da área exposta entre elas), dado que a base está a e o ar está a .
- Calcular, por unidade de área da placa (isto é, por
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).
- Vamos modelar as aletas como aletas retangulares finitas, de seção constante, fixas à temperatura da base
(a placa tem resistência térmica desprezível, logo a temperatura na raiz das aletas é ). - Para cada aleta calculamos o calor transferido por uma aleta (convecção nas duas faces e na ponta). Em seguida multiplicamos pelo número de aletas por unidade de largura da placa para obter a contribuição total das aletas por unidade de área projetada.
- Também calculamos a convecção que ocorre na área exposta da base entre as aletas (a área do “gap” onde não há aleta).
- Somamos as duas contribuições para obter o fluxo de calor por unidade de área da placa.
- Motivação física dos passos: a condução dentro da aleta é equilibrada com a convecção nas superfícies; isso leva à equação de difusão unidimensional cuja solução dá a taxa de calor por aleta em função de um parâmetro
que depende de e da geometria da seção da aleta.
Passo 3
Converter e calcular quantidades geométricas e a densidade de aletas por unidade de largura.
- Espessura da aleta: \ \mathrm{m}.)
- Comprimento (altura) da aleta: \ \mathrm{m}.)
- Espaçamento livre entre aletas: \ \mathrm{m}.)
- Passo (pitch) entre centros de aletas (largura ocupada por uma aleta + gap):
- Número de aletas por metro de largura da placa:
- Fração da área da base que é exposta (sem aleta) por pitch:
Isto significa que, por
de área projetada, a área da base exposta à convecção é
\ \mathrm{m^2}).
Passo 4
Modelo matemático da aleta e definição das quantidades físicas (explicação didática).
- Considere uma aleta retangular de espessura
e largura (no sentido perpendicular ao plano da figura) igual a (vamos trabalhar por unidade de comprimento na direção de profundidade). A área de seção transversal que conduz calor é . - O perímetro molhado (onde ocorre convecção) por unidade de comprimento é
(as duas faces da aleta). - Para uma aleta com convecção sobre o perímetro
e condução na área , define-se o parâmetro como Explicação: tem unidades de e mede a razão entre a capacidade de convecção superficial (proporcional a ) e a capacidade de condução interna (proporcional a ). Quanto maior , mais “curta” a distância efetiva de dissipação pela aleta (a temperatura decai mais rápido ao longo da aleta). - No caso específico das nossas aletas retangulares com
e , isto dá - A solução clássica (ver livros de transferência de calor) para a taxa de calor por aleta com ponta com convecção é
Explicação dos termos: -
é o salto térmico disponível. -
combina as propriedades convectivas e condutivas que caracterizam a transferência ligada à aleta. - A fração com hiperbólicas vem da solução da ODE de condução unidimensional com condição de convecção na ponta (não é necessário decorá-la, mas é a solução exata para a aleta com convecção na ponta).
-
- Em situações onde a ponta é praticamente isolada, a fórmula simplifica substituindo a fração acima por
. Aqui, por segurança, usaremos a fórmula com a correção do termo (que poderá ser pequeno).
Passo 5
Cálculo do parâmetro
e de termos auxiliares (numérico).
- Calcular
: Vamos calcular em partes:
- Calcular
: - Calcular o termo
: Observação: este termo é pequeno, o que significa que a correção por convecção na ponta será pequena, mas vamos incluí-la para maior precisão.
Passo 6
Calcular a expressão
que aparece na fórmula da aleta.
- Lembrando
e , temos Numericamente:
Passo 7
Calcular o calor por aleta
(por aleta e por
de profundidade).
- Primeiramente calcule as funções hiperbólicas (para
): - Calcular a fração de correção (ponta convectiva):
- Agora a potência por aleta:
Substituindo = \ ^\circ\mathrm{C}): Interpretação: cada aleta, por cada metro de profundidade (no sentido em que as aletas se estendem na largura), remove cerca de quando a base da aleta está a e o ar a .
Passo 8
Calcular a contribuição total das aletas por unidade de área da placa.
- Número de aletas por metro de largura: ).
- Portanto a contribuição das aletas por
(ou seja, por de largura vezes de comprimento projetado) é
Passo 9
Calcular a contribuição da área de base exposta (entre as aletas).
- A área de base exposta por
de planform é a fração vezes . Já calculamos ). - A convecção nessa área dá (pela lei de Newton):
Passo 10
Somar as contribuições e obter o fluxo de calor total por unidade de área da placa.
- Soma:
- Arredondando com 3 algarismos significativos: