Exercício R.2.2.4. Um tanque fechado contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9 . O fluido utilizado no manômetro em “U” conectado ao tanque é mercúrio ( densidade 13,6 ). Se \mathrm{h}_{1}=914 \mathrm{~mm}, \mathrm{~h}_{2}=152 \mathrm{mm} \mathrm{e}_{3}=229 \mathrm{~mm}, determine a leitura do manômetro localizado no topo do tanque.
P_{1}=P_{\text {arcomp }}+\gamma_{\text {Oleo }} \cdot\left(h_{1}+h_{2}\right)
P_{2}=\gamma_{H g} . h_{3}
P_{1}=P_{2} \quad \rightarrow \quad P_{\text {arcomp }}+\gamma_{\text {Oleo }} \cdot\left(h_{1}+h_{2}\right)=\gamma_{\text {Hg }} \cdot h_{3}
P_{\text {arcomp }}=\gamma_{H g} . h_{3}-\gamma_{\text {Oleo }} .\left(h_{1}+h_{2}\right)
P_{\text {arcomp }}=d_{\text {Hg }} \cdot \gamma_{\text {H2O }} . h_{3}-d_{\text {Oleo }} \cdot \gamma_{\text {H2O }} .\left(h_{1}+h_{2}\right)
P_{\text {arcomp }}=13,6 \times 9800 \times 0,229-0,9 \times 9800 \times(0,914+0,152)
P_{\text {arcomp }}=21119 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}=21,119 \mathrm{KPa}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a leitura do manômetro no topo do tanque, ou seja, a pressão do ar comprimido dentro do tanque (pressão manométrica).
Informações fornecidas (peguei os valores da imagem e do enunciado):
  • Densidade relativa do óleo: d_{\text{óleo}}=0,9ó (relativa à água).
  • Densidade relativa do mercúrio: d_{\text{Hg}}=13,6.
  • Alturas medidas (todas em mm na figura): h_{1}=914\\ \mathrm{mm}, h_{2}=152\\ \mathrm{mm}, h_{3}=229\\ \mathrm{mm}.
  • Valores físicos que usarei: aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e peso específico da água \gamma_{\text{H2O}}=9800\\ \mathrm{N/m^{3}} (equivalente a \rho_{\text{H2O}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times g).
  • O fluido do manômetro em U é mercúrio; o fluido entre o ar e o mercúrio é óleo.
Resumo do que será calculado:
  • Converter as alturas para metros.
  • Calcular o peso específico (peso volumétrico) do óleo e do Hg a partir das densidades relativas.
  • Usar equilíbrio hidrostático entre pontos conectados pelo manômetro para obter P_{\text{arcomp}}.

Passo 2

Princípios físicos e fórmulas necessárias (aula mastigada e prática):
  • Pressão hidrostática: a pressão num ponto em profundidade em um fluido em repouso cresce com a profundidade segundo
p=p_{\text{ref}}+\gamma\cdot h,
onde:
  • p é a pressão no ponto considerado;
  • p_{\text{ref}} é a pressão na superfície de referência (ou em outro ponto);
  • \gamma=\rho g é o peso específico do fluido (unidade \mathrm{N/m^{3}});
  • h é a diferença vertical (altura) entre os pontos (em metros).
  • Em um manômetro em U, duas colunas de fluido se conectam; se considerarmos dois pontos no mesmo nível conectado pelos fluidos, as pressões nesses dois pontos são iguais (princípio do mesmo nível). Assim, ao seguir trajetórias verticais através dos diferentes fluidos e somar os incrementos \gamma h, obtém-se uma relação de equilíbrio entre a pressão no tanque e a coluna de mercúrio do outro lado.
Aplicando isso ao diagrama:
  • Tomar um ponto no interior do tanque na mesma cota horizontal que o ponto marcado (2) do outro ramo do manômetro; seguindo pelo caminho, obtém-se a equação (esquematicamente)
P_{\text{arcomp}}+\gamma_{\text{óleo}}(h_{1}+h_{2})=\gamma_{\text{Hg}}\;h_{3}.ó
Explicação rápida do porquê: subindo do ponto no nível do líquido no interior do tanque até a superfície do mercúrio no ramo livre, o peso das colunas de óleo e mercúrio criam as diferenças de pressão mostradas; igualando pressões no mesmo nível obtemos a igualdade acima.

Passo 3

Organizar dados numéricos e conversões:
  • Converter alturas para metros:
h_{1}=914\\ \text{mm}=0,914\\ \mathrm{m},\qquad h_{2}=152\\ \text{mm}=0,152\\ \mathrm{m},\qquad h_{3}=229\\ \text{mm}=0,229\\ \mathrm{m}.
  • Peso específico da água (já dado para usar): \gamma_{\text{H2O}}=9800\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Peso específico do óleo:
\gamma_{\text{óleo}}=d_{\text{óleo}}\cdot\gamma_{\text{H2O}}=0,9\times9800=8820\\ \mathrm{N/m^{3}}.óó
  • Peso específico do mercúrio:
\gamma_{\text{Hg}}=d_{\text{Hg}}\cdot\gamma_{\text{H2O}}=13,6\times9800=133280\\ \mathrm{N/m^{3}}.

Passo 4

Montar a equação do equilíbrio e resolver algebricamente:
P_{\text{arcomp}}+\gamma_{\text{óleo}}\cdot(h_{1}+h_{2})=\gamma_{\text{Hg}}\cdot h_{3}ó
Isolando P_{\text{arcomp}}:
P_{\text{arcomp}}=\gamma_{\text{Hg}}\cdot h_{3}-\gamma_{\text{óleo}}\cdot(h_{1}+h_{2}).ó
Substituindo os valores calculados:
P_{\text{arcomp}}=133280\times0,229-8820\times(0,914+0,152).

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (contas fáceis para fazer na prova):
  • Primeiro termo (coluna de mercúrio):
133280\times0,229=30521,12\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Soma das alturas do óleo:
h_{1}+h_{2}=0,914+0,152=1,066\\ \mathrm{m}.
  • Segundo termo (coluna de óleo):
8820\times1,066=9402,12\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Subtraindo:
P_{\text{arcomp}}=30521,12-9402,12=21119,00\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Converter para kilopascal para leitura mais usual:
21119,00\\ \mathrm{N/m^{2}}=21,119\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo:
  • A leitura do manômetro no topo do tanque (pressão do ar comprimido) é 21,119\\ \mathrm{kPa} (pressão manométrica).
  • Bom trabalho por encarar a questão! Na prova, siga esses passos: converter unidades, calcular \gamma dos fluidos, escrever a igualdade de pressões no mesmo nível e fazer as contas em ordem — isso evita erro de sinal e de unidades.

Resposta

21,119\\ \mathrm{kPa}

Exercícios relacionados