Exercício R.2.2.2. O Edifício “Empire State” tem altura de 381 m . Calcule a relação entre a pressão no topo e na base ( nível do mar ), considerando o ar como fluido incompressível (
).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- altura do edifício:
. - peso específico do ar (especific weight):
. - pressão na base (nível do mar):
.
- altura do edifício:
-
O que o enunciado pede:
- calcular a relação entre a pressão no topo e na base, isto é, o quociente
.
- calcular a relação entre a pressão no topo e na base, isto é, o quociente
Passo 2
Entendendo a fórmula que vamos usar (aquela que cai do céu… literalmente).
Para um fluido incompressível em equilíbrio estático, a variação de pressão com a altura é linear e dada pela equação hidrostática:
Explicando cada símbolo:
-
é a pressão no ponto mais alto (topo do edifício). -
é a pressão no ponto mais baixo (base, nível do mar). -
é o peso específico do fluido ( ), com unidade . Para o ar foi dado . -
é a diferença de altura entre os pontos, aqui .
Essa fórmula vem de integrar a equação
para um fluido incompressível: pressão aumenta linearmente com a profundidade.
Passo 3
Isolando
a partir da equação hidrostática:
Primeiro escrever
em função de
:
Dividindo ambos os lados por
obtemos a relação pedida:
Essa forma é prática: mostra quanto da pressão da base sobra no topo (é
menos a fração gerada pela coluna de ar).
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente passo a passo a contribuição da coluna de ar:
Calcular
:
Fazendo a multiplicação (dividindo em partes para não perder passos):
logo
(Unidade correta:
.)
Passo 5
Calcular a pressão no topo
:
Passo 6
Calcular a razão pedida usando a fórmula do Passo 3:
Agora a divisão:
portanto
Passo 7
Interpretação curta e encorajamento (tipo amigo explicando): o resultado significa que a pressão no topo é cerca de
da pressão ao nível do mar. A queda relativa é pequena (aprox.
) — por isso, para alturas da ordem de algumas centenas de metros, tratar o ar como incompressível dá uma estimativa razoável; se precisássemos de precisão maior ou alturas muito maiores (vários quilômetros) teríamos que usar o modelo de ar compressível (lei barométrica).
Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — agora já sabe usar a equação hidrostática e fazer as contas manualmente na prova!