Exercício R.2.2.2. O Edifício “Empire State” tem altura de 381 m . Calcule a relação entre a pressão no topo e na base ( nível do mar ), considerando o ar como fluido incompressível ( \gamma_{\mathrm{Ar}}=12,01 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ).
P_{2}=P_{\text {atm }}=101234 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}
P_{2}-P_{1}=\gamma_{A r} .\left(h_{2}-h_{1}\right)
P_{1}=P_{2}-\gamma_{A r} .\left(h_{2}-h_{1}\right)
\frac{P_{1}}{P_{2}}=1-\frac{\gamma_{A r} \cdot\left(h_{2}-h_{1}\right)}{P_{2}}=1-\frac{12,01 \times 381}{101234}=0,955

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • altura do edifício: h_2-h_1=381\\ \mathrm{m}.
    • peso específico do ar (especific weight): \gamma_{\mathrm{Ar}}=12{,}01\\ \mathrm{N/m^{3}}.
    • pressão na base (nível do mar): P_{2}=P_{\text{atm}}=101234\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • O que o enunciado pede:
    • calcular a relação entre a pressão no topo e na base, isto é, o quociente \dfrac{P_{1}}{P_{2}}.

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (aquela que cai do céu… literalmente).
Para um fluido incompressível em equilíbrio estático, a variação de pressão com a altura é linear e dada pela equação hidrostática:
P_{2}-P_{1}=\gamma\,(h_{2}-h_{1}).
Explicando cada símbolo:
  • P_{1} é a pressão no ponto mais alto (topo do edifício).
  • P_{2} é a pressão no ponto mais baixo (base, nível do mar).
  • \gamma é o peso específico do fluido ( \gamma=\rho g), com unidade \mathrm{N/m^{3}}. Para o ar foi dado \gamma_{\mathrm{Ar}}=12{,}01\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • h_{2}-h_{1} é a diferença de altura entre os pontos, aqui 381\\ \mathrm{m}.
Essa fórmula vem de integrar a equação \mathrm{d}P=-\gamma\,\mathrm{d}h para um fluido incompressível: pressão aumenta linearmente com a profundidade.

Passo 3

Isolando \dfrac{P_{1}}{P_{2}} a partir da equação hidrostática:
Primeiro escrever P_{1} em função de P_{2}:
P_{1}=P_{2}-\gamma_{\mathrm{Ar}}\,(h_{2}-h_{1}).
Dividindo ambos os lados por P_{2} obtemos a relação pedida:
\frac{P_{1}}{P_{2}}=1-\frac{\gamma_{\mathrm{Ar}}\,(h_{2}-h_{1})}{P_{2}}.
Essa forma é prática: mostra quanto da pressão da base sobra no topo (é 1 menos a fração gerada pela coluna de ar).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente passo a passo a contribuição da coluna de ar:
Calcular \gamma_{\mathrm{Ar}}\,(h_{2}-h_{1}):
\gamma_{\mathrm{Ar}}\,(h_{2}-h_{1})=12{,}01\times381.
Fazendo a multiplicação (dividindo em partes para não perder passos):
12\times381=4572, \qquad 0{,}01\times381=3{,}81,
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12{,}01\times381=4572+3{,}81=4575{,}81\\ \mathrm{N/m^{2}}.
(Unidade correta: \mathrm{N/m^{3}}\times\mathrm{m}=\mathrm{N/m^{2}}.)

Passo 5

Calcular a pressão no topo P_{1}:
P_{1}=P_{2}-\gamma_{\mathrm{Ar}}\,(h_{2}-h_{1})=101234-4575{,}81=96658{,}19\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Passo 6

Calcular a razão pedida usando a fórmula do Passo 3:
\frac{P_{1}}{P_{2}}=1-\frac{4575{,}81}{101234}.
Agora a divisão:
\frac{4575{,}81}{101234}\approx0{,}04518\quad(\text{arredondando}),
portanto
\frac{P_{1}}{P_{2}}\approx1-0{,}04518=0{,}95482\approx0{,}955.

Passo 7

Interpretação curta e encorajamento (tipo amigo explicando): o resultado significa que a pressão no topo é cerca de 95{,}5\% da pressão ao nível do mar. A queda relativa é pequena (aprox. 4{,}5\%) — por isso, para alturas da ordem de algumas centenas de metros, tratar o ar como incompressível dá uma estimativa razoável; se precisássemos de precisão maior ou alturas muito maiores (vários quilômetros) teríamos que usar o modelo de ar compressível (lei barométrica).
Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — agora já sabe usar a equação hidrostática e fazer as contas manualmente na prova!

Resposta

0,955

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