Exercício 9. Para alpha: R longrightarrow R^m e beta: R longrightarrow R^m curvas diferenciáveis, mostre a regra do produto
dd tlang<=alpha(t), beta(t)rang<==lang<=alpha^prime(t), beta(t)rang<=+lang<=alpha(t), beta^prime(t)rang<= para todo t in R
Em particular, prove que se alpha tem velocidade constante, isto é, |alpha^prime(t)| equiv C para todo t, então
alpha^prime(t) perp alpha^prime prime(t) para todo t in R
Em outras palavras, se uma curva é tal que a magnitude do vetor velocidade permanece constante, então seu vetor velocidade é ortogonal ao seu vetor aceleração em todos os pontos da curva.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas diferenciáveis
alphacolon RtoR^m e betacolon RtoR^m
e pede para mostrar a regra do produto para o produto interno
lang<=alpha(t),beta(t)rang<=.
Para isso, vamos precisar da definição do produto interno em coordenadas e da regra de derivação de soma e produto de funções escalares.

Passo 2

Escrevemos as curvas em coordenadas:
Por definição do produto interno em ,
Como cada termo é produto de funções escalares, aplicamos a regra
e como a derivada de soma é soma de derivadas, temos

Passo 3

Agora reorganizamos a soma em dois somatórios:
Portanto obtemos exatamente a regra do produto:

Passo 4

Para a parte particular, suponha que tenha velocidade constante, isto é
. Então a função escalar
é constante igual a . Logo
Por outro lado, aplicando a regra do produto ao produto interno de consigo mesma,
Daí , ou seja
o que significa para todo .

Resposta

Mostramos que
e que, se é constante, então
, isto é, .

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