Exercício 9. Para
e
curvas diferenciáveis, mostre a regra do produto
Em particular, prove que se
tem velocidade constante, isto é,
para todo
, então
Em outras palavras, se uma curva é tal que a magnitude do vetor velocidade permanece constante, então seu vetor velocidade é ortogonal ao seu vetor aceleração em todos os pontos da curva.
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas diferenciáveis
e
e pede para mostrar a regra do produto para o produto interno
.
Para isso, vamos precisar da definição do produto interno em coordenadas e da regra de derivação de soma e produto de funções escalares.
e pede para mostrar a regra do produto para o produto interno
Para isso, vamos precisar da definição do produto interno em coordenadas e da regra de derivação de soma e produto de funções escalares.
Passo 2
Escrevemos as curvas em coordenadas:
Por definição do produto interno em
,
Como cada termo
é produto de funções escalares, aplicamos a regra
e como a derivada de soma é soma de derivadas, temos
Passo 3
Agora reorganizamos a soma em dois somatórios:
Portanto obtemos exatamente a regra do produto:
Passo 4
Para a parte particular, suponha que
tenha velocidade constante, isto é
. Então a função escalar
é constante igual a
. Logo
Por outro lado, aplicando a regra do produto ao produto interno de
consigo mesma,
Daí
, ou seja
o que significa
para todo
.
Resposta
Mostramos que
e que, se
é constante, então
, isto é,
.