Use integração por partes para calcular as integrais abaixo:
integral ln (x^2+3) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular integral lnl(x^2+3r),dx usando integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
escolher funções adequadas, decompor termos e lembrar que
integral dxx^2+a^2 = 1aarctan!l(xar)

Passo 2

Escolhemos
u = lnl(x^2+3r), dv = dx
Então
du = 2xx^2+3,dx, v = integral 1,dx = x

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral lnl(x^2+3r),dx = x,lnl(x^2+3r) - integral xcdot 2xx^2+3,dx = xlnl(x^2+3r) - 2integral x^2x^2+3,dx

Passo 4

Para calcular integral x^2x^2+3,dx, escrevemos
x^2x^2+3 = 1 - 3x^2+3
Logo,
integral x^2x^2+3,dx = integral 1,dx - 3integral 1x^2+3,dx = x - 3cdot1raiz3arctan!l(xraiz3r)

Passo 5

Substituindo de volta e simplificando:
integral lnl(x^2+3r),dx = xlnl(x^2+3r) - 2l[x - tfrac3raiz3arctan!l(tfracxraiz3r)r] + C = xlnl(x^2+3r) - 2x + 2raiz3,arctan!l(xraiz3r) + C

Resposta

integral lnl(x^2+3r),dx = xlnl(x^2+3r) - 2x + 2raiz3,arctan!l(xraiz3r) + C

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